‹-- Назад

Касательная к кривой на плоскости

Пусть на координатной плоскости $ xOy$ построен график функции $ f(x)$, и $ x_0$ -- некоторая внутренняя точка области определения $ \mathcal{D}(f)$. Прямая, проходящая через точки $ M_0(x_0;y_0)$ и $ M_1(x_1;y_1)$, где $ y_0=f(x_0)$ и $ y_1=f(x_1)$ ( $ x_1\ne x_0$), -- это секущая по отношению к графику $ y=f(x)$.

Касательной к линии $ y=f(x)$ в точке $ M_0$ называется прямая $ M_0N$, служащая предельным положением секущих (прямых $ M_0M_1$), при условии, что точка $ M_1$ приближается, следуя по линии $ y=f(x)$, к точке касания $ M_0$.

Рис.4.1.Касательная -- это предельное положение секущих


Этому не вполне строгому определению можно придать точный смысл, если задавать положения всех прямых, проходящих через точку $ M_0$, то есть секущих и касательной, их углом наклона по отношению к положительному направлению оси $ Ox$. Обозначим через $ {\beta}$ угол наклона прямой $ M_0M_1$. Очевидно, что, вообще говоря, угол $ {\beta}$ зависит от выбора точки $ M_1$: $ {\beta}={\beta}(x_1)$ (считаем, что точка $ M_0$ фиксирована). Так как секущая проходит через точки с координатами $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$, то

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_1)=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$

Если теперь обозначить через $ h$ приращение абсциссы $ x$ при переходе от точки $ x_0$ к точке $ x_1$, то есть $ h=x_1-x_0$, то получим, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Приближение точки $ M_1$ к точке $ M_0$ вдоль кривой $ y=f(x)$ означает, что $ h\to0$; при этом угол $ {\beta}$ приближается, по определению, к углу $ {\alpha}$ наклона касательной $ M_0N$:

$\displaystyle {\alpha}=\lim_{h\to0}{\beta}(x_0+h).$

Предположим, что этот предел существует (что означает существование касательной) и не равен $ \pm\frac{\pi}{2}$. Тогда, вследствие того, что тангенс непрерывен при $ x\ne\pm\frac{\pi}{2}+2m\pi$ ( $ m\in\mathbb{Z}$), получаем, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\lim_{h\to0}\mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Итак, по определению, мы называем прямую $ M_0N$ наклонной касательной (или просто касательной) к линии $ y=f(x)$ в точке $ M_0(x_0;f(x_0))$, если она имеет тангенс угла $ {\alpha}$ наклона к оси $ Ox$, равный


Число $ k_{x_0}$ называют угловым коэффициентом касательной к графику функции при $ {x=x_0}$.

Если же $ {\alpha}=\lim\limits_{h\to0}{\beta}(x_0+h)=\pm\frac{\pi}{2}$, то прямая $ M_0N$ оказывается вертикальной (перпендикулярной к оси $ Ox$). В этом случае будем говорить, что график $ y=f(x)$ имеет вертикальную касательную в точке $ M_0$. Этот случай соответствует тому, что

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to+\infty$

или

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}(x_0+h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to-\infty$

при $ h\to0$.

        Определение 4.2   Число $ k_{x_0}$, в случае если задающий его предел существует, называют производной функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ и обозначают $ f'(x_0)$. Иногда для уточнения говорят, что производная вычислена по переменной $ x$.     

Поскольку мы знаем, что уравнение прямой, проходящей через точку $ (x_0;y_0)$ с угловым коэффициентом $ k=\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}$, -- это $ Y=y_0+k(x-x_0)$ (где $ (x;Y)$ -- текущая точка прямой), то мы можем теперь выписать уравнение касательной к графику $ y=f(x)$ при $ {x=x_0}$, то есть касательной, проходящей через точку $ (x_0;f(x_0))$ с угловым коэффициентом, равным производной $ k_{x_0}=f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$:

$\displaystyle Y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$

Пусть дана некоторая кривая $ y=f(x)$, и в точке $ (x_0;y_0)$ к этой кривой проведена касательная. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к линии $ y=f(x)$.

Рис.4.2.Касательная и нормаль к линии $ y=f(x)$


Если касательная имеет угловой коэффициент $ k=\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}$, то нормаль имеет угловой коэффициент $ k_1=-\dfrac{1}{k}=-\mathop{\rm ctg}\nolimits {\alpha}$, поскольку ввиду перпендикулярности нормали и касательной угол наклона нормали равен $ {\beta}={\alpha}+\frac{\pi}{2}$, а $ k_1=\mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}=\mathop{\rm tg}\nolimits ({\alpha}+\frac{\pi}{2})=-\mathop{\rm ctg}\nolimits {\alpha}.$ Поэтому уравнение нормали к линии $ y=f(x)$, проведённой через точку $ (x_0;y_0)$, имеет вид:

$\displaystyle Y=y_0-\dfrac{1}{k}(x-x_0),$

или

$\displaystyle Y=f(x_0)-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0).$