‹-- Назад

Гиперболические функции и ареа-функции

Для рассмотрения дальнейших примеров нам понадобится определение гиперболических функций и ареа-функций, обратных к гиперболическим.

        Определение 3.6   Гиперболическим синусом называется функция

$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}).$

Гиперболическим косинусом называется функция

$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).$

Гиперболическим тангенсом называется функция

$\displaystyle \mathop{\rm th}\nolimits x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}.$

Гиперболическим котангенсом называется функция

$\displaystyle \mathop{\rm cth}\nolimits x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\dfrac{...
...\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm th}\nolimits x}.$

    

Рис.3.26.Графики гиперболических функций


Функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits x$, $ \mathop{\rm th}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm cth}\nolimits x$ -- нечётные; функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits x$ -- чётная. Области определения гиперболических функций таковы:

$\displaystyle \mathcal{D}(\mathop{\rm sh}\nolimits )=\mathbb{R},
\mathcal{D}(...
...mathbb{R},
\mathcal{D}(\mathop{\rm cth}\nolimits )=\mathbb{R}\diagdown \{0\};$

области значений -- следующие:

$\displaystyle \mathcal{E}(\mathop{\rm sh}\nolimits )=\mathbb{R},
\mathcal{E}(...
...)=(-1;1),
\mathcal{E}(\mathop{\rm cth}\nolimits )=(-\infty;-1)\cup(1;\infty).$

        Упражнение 3.1   Докажите сделанные утверждения о том, какой вид имеют области значений гиперболических функций.     

        Замечание 3.2   В англоязычной литературе используется обозначение $ \sinh$ вместо $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, $ \cosh$ вместо $ \mathop{\rm ch}\nolimits $, $ \tanh$ вместо $ \mathop{\rm th}\nolimits $, $ \coth$ вместо $ \mathop{\rm cth}\nolimits $.     

Некоторые из свойств гиперболических функций схожи (но не всегда в точности совпадают) со свойствами соответствующих тригонометрических функций. Например, имеют место формулы:

$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits ^2x-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x=1;$    
$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits 2x=2\mathop{\rm sh}\nolimits x\mathop{\rm ch}\nolimits x;$    
$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits (x+y)=\mathop{\rm ch}\nolimits x\mathop{\rm ch}\nolimits y+\mathop{\rm sh}\nolimits x\mathop{\rm sh}\nolimits y;$    
$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits (x+y)=\mathop{\rm sh}\nolimits x\mathop{\rm ch}\nolimits y+\mathop{\rm ch}\nolimits x\mathop{\rm sh}\nolimits y$    

и многие другие формулы, аналогичные известным формулам тригонометрии.

        Упражнение 3.2   Докажите приведённые выше формулы, исходя из определений гиперболических функций.     

Подобно тому, как равенство $ \cos^2t+\sin^2t=1$ выражает тот факт, что точка координатной плоскости $ xOy$ с координатами $ x=\cos t$, $ y=\sin t$ при изменении параметра $ t$ движется по окружности радиуса 1, заданной уравнением $ x^2+y^2=1$ (и называемой тригонометрическим кругом), равенство $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2t-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2t=1$ говорит о том, что точка с координатами $ x=\mathop{\rm ch}\nolimits t$, $ y=\mathop{\rm sh}\nolimits t$ движется по равносторонней гиперболе, заданной уравнением $ x^2-y^2=1$. Отсюда и происходит название: гиперболические функции.

Функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, $ \mathop{\rm th}\nolimits $ непрерывны и монотонно возрастают на своих областях определения. Поэтому они имеют обратные функции, которые также монотонно возрастают и непрервыны. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, называется обратным гиперболическим синусом, или ареа-синусом, и обозначается $ \mathop{\rm arsh}\nolimits $. Имеем: $ {\mathop{\rm arsh}\nolimits :\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm sh}\nolimits y}$. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm th}\nolimits $, называется обратным гиперболическим тангенсом, или ареа-тангенсом, и обозначается $ \mathop{\rm arth}\nolimits $. Итак, $ {\mathop{\rm arth}\nolimits :(-1;1)\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arth}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm th}\nolimits y}$.

Рис.3.27.Графики функций $ y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arth}\nolimits x$


Функция $ \mathop{\rm cth}\nolimits $, хотя и имеет разрыв в точке 0, монотонна на интервалах $ (-\infty;0)$ и $ (0;+\infty)$ и принимает каждое своё значение ровно один раз. Поэтому существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим котангенсом, или ареа-котангенсом, обозначаемая $ \mathop{\rm arcth}\nolimits $. Она определена на $ (-\infty;1)\cup(1;+\infty)$ и принимает значения в множестве $ \mathbb{R}\diagdown \{0\}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Рис.3.28.График функции $ y=\mathop{\rm arcth}\nolimits x$


Функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ не является монотонной на всей своей области определения. Однако монотонно (и непрерывно) её ограничение на полуось $ [0;+\infty)$, при этом функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits \vert _{[0;+\infty)}$ принимает все значения из $ [1;+\infty)$. Поэтому для этого ограничения существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим косинусом, или ареа-косинусом и обозначаемая $ \mathop{\rm arch}\nolimits $. Она непрерывна на своей области определения $ [1;+\infty)$ и принимает значения на $ [0;+\infty)$.

Возможен вариант: вместо ограничения на $ [0;+\infty)$ можно рассмотреть ограничение функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ на $ (-\infty;0]$, а затем функцию, обратную к этому ограничению. Эту функцию часто также называют ареа-косинусом и обозначают $ \mathop{\rm arch}\nolimits $, однако нужно чётко осознавать, что при таком построении получается другая функция (будем обозначать её здесь $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-$). Итак, $ \mathop{\rm arch}\nolimits :[1;+\infty)\to[0;+\infty)$ и $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-:[1;+\infty)\to(-\infty;0]$.

Рис.3.29.Графики функций $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits _-x$


        Замечание 3.3   В англоязычной литературе используется обозначение $ \sinh^{-1}$ вместо $ \mathop{\rm arsh}\nolimits $, $ \cosh^{-1}$ вместо $ \mathop{\rm arch}\nolimits $, $ \tanh^{-1}$ вместо $ \mathop{\rm arth}\nolimits $, $ \coth^{-1}$ вместо $ \mathop{\rm arcth}\nolimits $.     

        Упражнение 3.3   Докажите, пользуясь определением гиперболических функций, что ареа-функции выражаются через логарифмическую функцию следующим образом:

$\displaystyle \mathop{\rm arsh}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2+1});$

$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2-1});$

$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits _-x=\ln(x-\sqrt{x^2-1});$

$\displaystyle \mathop{\rm arth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x};$

$\displaystyle \mathop{\rm arcth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}.$