‹-- Назад

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

        Определение 3.3   Пусть $ f$ -- некоторая функция, $ \mathcal{D}(f)$ -- её область определения и $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$ -- некоторый (открытый) интервал (может быть, с $ a=-\infty$ и/или $ b=+\infty$)7. Назовём функцию $ f$ непрерывной на интервале $ (a;b)$, если $ f$ непрерывна в любой точке $ x_0\in(a;b)$, то есть для любого $ x_0\in(a;b)$ существует $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ (в сокращённой записи:
$ \forall\ x_0\in(a;b)\ \exists\ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)).$

Пусть теперь $ [a;b]$ -- (замкнутый) отрезок в $ \mathcal{D}(f)$. Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной на отрезке $ [a;b]$, если $ f$ непрерывна на интервале $ (a;b)$, непрерывна справа в точке $ a$ и непрерывна слева в точке $ b$, то есть
$ 1)\quad\forall\ x_0\in(a;b)\ \exists\ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0);$
$ 2)\quad\exists\ \lim\limits_{x\to a+}f(x)=f(a);$
$ 3)\quad\exists\ \lim\limits_{x\to b-}f(x)=f(b).$     

        Пример 3.13   Рассмотрим функцию $ H(x)=\left\{\begin{array}{rl}
0,&\mbox{ при }x<0;\\
1,&\mbox{ при }x\geqslant 0
\end{array}\right.
$ (функция Хевисайда) на отрезке $ [0;b]$, $ b>0$. Тогда $ H(x)$ непрерывна на отрезке $ [0;b]$ (несмотря на то, что в точке $ x=0$ она имеет разрыв первого рода).     

Рис.3.15.График функции Хевисайда


Аналогичное определение можно дать и для полуинтервалов вида $ (a;b]$ и $ [c;d)$, включая случаи $ a=-\infty$ и $ d=+\infty$. Однако можно обобщить данное определение на случай произвольного подмножества $ A\sbs\mathcal{D}(f)$ следующим образом. Введём сначала понятие индуцированной на $ A$ базы: пусть $ \mathcal{B}$ -- база, все окончания $ E\in\mathcal{B}$ которой имеют непустые пересечения с $ A$. Обозначим $ E\cap A$ через $ E^A$ и рассмотрим множество всех $ E^A$. Нетрудно тогда проверить, что множество $ \mathcal{B}^A=\{E^A, E\in\mathcal{B}\}$ будет базой. Тем самым для $ A\sbs\mathcal{D}(f)$ определены базы $ \mathcal{B}(x_0)^A$, $ \mathcal{B}(x_0-)^A$ и $ \mathcal{B}(x_0+)^A$, где $ \mathcal{B}(x_0)$, $ \mathcal{B}(x_0-)$ и $ \mathcal{B}(x_0+)$ -- базы непроколотых двусторонних (соответственно левых, правых) окрестностей точки $ x_0$ (их определение см. в начале текущей главы).

        Определение 3.4   Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной на множестве $ A\sbs\mathcal{D}(f)$, если
$ \forall\ x_0\in A\ \exists\ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)^A}f(x)=f(x_0)).$     

Нетрудно видеть, что тогда при $ A=(a;b)$ и при $ A=[a;b]$ это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.

Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.

Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:

        Теорема 3.5   Пусть $ f(x)$ и $ g(x)$ -- функции и $ I$ -- интервал или отрезок, лежащий в $ \mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g)$. Пусть $ f$ и $ g$ непрерывны на $ I$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непpеpывны на $ I$. Если вдобавок $ g(x)\ne0$ пpи всех $ x\in I$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непpеpывна на $ I$.     

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 -- пpедложение 3.3:

        Предложение 3.4   Множество $ \mathcal{C}_I$ всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке $ I\sbs\mathbb{R}$ -- это линейное пpостpанство:

$\displaystyle f_1(x),f_2(x)\in\mathcal{C}_I;C_1,C_2=\mathrm{const}\quad\Longrightarrow \quad
C_1f_1(x)+C_2f_2(x)\in\mathcal{C}_I.$

    

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

        Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции)   Пусть функция $ f$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$, причём $ f(a)$ и $ f(b)$ -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что $ f(a)<0$, а $ f(b)>0$.) Тогда существует хотя бы одно такое значение $ x_0\in(a;b)$, что $ f(x_0)=0$ (то есть существует хотя бы один корень $ x_0$ уравнения $ f(x)=0$).

        Доказательство.     Рассмотрим середину отрезка $ c_1=\dfrac{a+b}{2}$. Тогда либо $ {f(c_1)=0}$, либо $ f(c_1)<0$, либо $ f(c_1)>0$. В первом случае корень найден: это $ x_0=c_1$. В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция $ f$ принимает значения разных знаков: $ [c_1;b]$ в случае $ f(c_1)<0$ или $ [a;c_1]$ в случае $ f(c_1)>0$. Выбранную половину отрезка обозначим через $ [a_1;b_1]$ и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины $ [a_1;c_2]$ и $ [c_2;b_1]$, где $ c_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}$, и найдём $ f(c_2)$. В случае $ f(c_2)=0$ корень найден; в случае $ f(c_2)<0$ рассматриваем далее отрезок $ [a_2;b_2]=[c_2;b_1]$, в случае $ f(c_2)>0$ -- отрезок $ [a_2;b_2]=[a_1;c_2]$ и т. д.

Рис.3.16.Последовательные деления отрезка пополам


Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень $ x_0=c_i$, либо будет построена система вложенных отрезков

$\displaystyle [a;b]\sps[a_1;b_1]\sps[a_2;b_2]\sps\ldots\sps[a_i;b_i]\sps\ldots,$

в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность $ a_0=a,a_1,a_2,\dots,a_i,\dots$ -- неубывающая и ограниченная сверху (например, числом $ b$); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел $ \lim\limits_{i\to\infty}a_i=a'$. Последовательность $ {b_0=b,b_1,b_2,\dots,b_i,\dots}$ -- невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом $ a$); значит, существует предел $ \lim\limits_{i\to\infty}b_i=b'$. Поскольку длины отрезков $ b_i-a_i$ образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем $ \frac{1}{2}$), то они стремятся к 0, и $ \lim\limits_{i\to\infty}a_i=\lim\limits_{i\to\infty}b_i$, то есть $ a'=b'$. Положим теперь $ x_0=a'=b'$. Тогда

$\displaystyle \lim_{i\to\infty}f(a_i)=f(a')=f(x_0)$ и $\displaystyle \lim_{i\to\infty}f(b_i)=f(b')=f(x_0),$

поскольку функция $ f$ непрерывна. Однако, по построению последовательностей $ \{a_i\}$ и $ \{b_i\}$, $ f(a_i)<0$ и $ f(b_i)>0$, так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7), $ \lim\limits_{i\to\infty}f(a_i)\leqslant 0$ и $ \lim\limits_{i\to\infty}f(b_i)\geqslant 0$, то есть $ f(x_0)\leqslant 0$ и $ f(x_0)\geqslant 0$. Значит, $ f(x_0)=0$, и $ x_0$ -- корень уравнения $ f(x)=0$.     

        Пример 3.14   Рассмотрим функцию $ f(x)=\cos x-x$ на отрезке $ [0;\frac{\pi}{2}]$. Поскольку $ f(0)=1$ и $ f(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2}$ -- числа разных знаков, то функция $ f(x)$ обращается в 0 в некоторой точке $ x_0$ интервала $ (0;\frac{\pi}{2})$. Это означает, что уравнение $ \cos x=x$ имеет корень $ x_0\in(0;\frac{\pi}{2})$.     

Рис.3.17.Графическое представление корня уравнения $ \cos x=x$


Доказанная теорема фактически даёт нам способ нахождения корня $ x_0$, хотя бы приближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это -- метод деления отрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим и другими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мы познакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.

Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень $ x_0$ -- единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их 3).

Рис.3.18.Несколько корней функции, принимающей значения разных знаков в концах отрезка


Однако, если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которого принимает значения разных знаков, то корень -- единственный, так как строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в том числе и значение 0.

Рис.3.19.Монотонная функция не может иметь более одного корня


Непосредственным следствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема, которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.

        Теорема 3.7 (о промежуточном значении непрерывной функции)   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$ и $ f(a)\ne f(b)$ (будем для определённости считать, что $ f(a)<f(b)$). Пусть $ C$ -- некоторое число, лежащее между $ f(a)$ и $ f(b)$. Тогда существует такая точка $ x_0\in(a;b)$, что $ f(x_0)=C$.

Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любое промежуточное значение


        Доказательство.     Рассмотрим вспомогательную функцию $ f_C(x)=f(x)-C$, где $ C\in(f(a);f(b))$. Тогда $ f_C(a)=f(a)-C<0$ и $ f_C(b)=f(b)-C>0$. Функция $ f_C$, очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такая точка $ x_0\in(a;b)$, что $ f_C(x_0)=0$. Но это равенство означает, что $ f(x_0)=C$.     

Заметим, что если функция не является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения. Например, функция Хевисайда $ H(x)$ (см.  пример 3.13) принимает значения $ f(-1)=-1$, $ f(1)=1$, но нигде, в том числе и на интервале $ (-1;1)$, не принимает, скажем, промежуточного значения $ \frac{1}{2}$. Дело в том, что функция Хевисайда имеет разрыв в точке $ x=0$, лежащей как раз в интервале $ (-1;1)$.

Для дальнейшего изучения свойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойство системы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой о пределе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченного снизу множества $ M\sbs\mathbb{R}$ (то есть такого, что $ x\geqslant K$ при всех $ x\in M$ и некотором $ K$; число $ K$ называется нижней гранью множества $ M$) имеется точная нижняя грань $ \inf M$, то есть наибольшее из чисел $ K$, таких что $ x\leqslant K$ при всех $ x\in M$. Аналогично, если множество $ M$ ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань $ \sup M$: это наименьшая из верхних граней $ K$ (для которых $ x\leqslant K$ при всех $ x\in M$).

Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченного множества


Если $ x_0=\inf M$, то существует невозрастающая последовательность точек $ {x_1\geqslant x_2\geqslant \dots\geqslant x_i\geqslant \dots}$, которая стремится к $ x_0$. Точно так же если $ x_0=\sup M$, то существует неубывающая последовательность точек $ {x_1\leqslant x_2\leqslant \dots\leqslant x_i\leqslant \dots}$, которая стремится к $ x_0$.

Если точка $ x_0=\inf M$ принадлежит множеству $ M$, то $ x_0$ является наименьшим элементом этого множества: $ x_0=\min M$; аналогично, если $ x_0=\sup M\in M$, то $ x_0=\max M$.

Кроме того, для дальнейшего нам понадобится следующая

        Лемма 3.1   Пусть $ f(x)$ -- непрерывная функция на отрезке $ [a;b]$, и множество $ M$ тех точек $ x\in[a;b]$, в которых $ f(x)=K$ (или $ f(x)\leqslant K$, или $ f(x)\geqslant K$) не пусто. Тогда в множестве $ M$ имеется наименьшее значение $ x_{\min}\in M$, такое что $ x\geqslant x_{\min}$ при всех $ x\in M$.

Рис.3.22.Наименьший аргумент, при котором функция принимает заданное значение


        Доказательство.     Поскольку $ M$ -- ограниченное множество (это часть отрезка $ [a;b]$), то оно имеет точную нижнюю грань $ x_0=\inf M$. Тогда существует невозрастающая последовательность $ \{x_i\}\sbs M$, $ i=1,2,\dots$, такая что $ x_i\to x_0$ при $ i\to\infty$. При этом $ f(x_i)=K$, по определению множества $ M$. Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=\lim_{i\to\infty}K=K,$

а с другой стороны, вследствие непрерывности функции $ f(x)$,

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x_0).$

Значит, $ f(x_0)=K$, так что точка $ x_0$ принадлежит множеству $ M$ и $ x_0=\min M$.

В случае, когда множество $ M$ задано неравенством $ f(x)\leqslant K$, мы имеем $ f(x_i)\leqslant K$ при всех $ i=1,2,\dots$ и по теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)\leqslant K,$

откуда $ f(x_0)\leqslant K$, что означает, что $ x_0\in M$ и $ x_0=\min M$. Точно так же в случае неравенства $ f(x)\geqslant K$ переход к пределу в неравенстве даёт

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)\geqslant K,$

откуда $ f(x_0)\geqslant K$, $ x_0\in M$ и $ x_0=\min M$.     

        Теорема 3.8 (об ограниченности непрерывной функции)   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$. Тогда $ f$ ограничена на $ [a;b]$, то есть существует такая постоянная $ K$, что $ \vert f(x)\vert\leqslant K$ при всех $ x\in[a;b]$.

Рис.3.23.Непрерывная на отрезке функция ограничена


        Доказательство.     Предположим обратное: пусть $ f(x)$ не ограничена, например, сверху. Тогда все множества $ {M_1=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+1\}}$, $ {M_2=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+2\},\dots}$, $ {M_i=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+i\},\dots}$, не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств $ M_i$ имеется наименьшее значение $ x_i$, $ i=1,2,\dots$. Покажем, что

$\displaystyle x_0=a<x_1<x_2<\dots<x_i<\dots.$

Действительно, $ f(x_1)=f(a)+1>f(a)$. Если какая-либо точка из $ x_2,x_3,\dots$, например $ x_i$, лежит между $ x_0$ и $ x_1$, то

$\displaystyle f(x_0)=f(a)<f(x_1)=f(a)+1<f(x_i)=f(a)+i,$

то есть $ f(a)+1$ -- промежуточное значение между $ f(x_0$ и $ f(x_i)$. Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка $ x_*\in(x_0;x_i)$, такая что $ f(x_*)=f(a)+1$, и $ x_*\in M_1$. Но $ x_*<x_i<x_1$, вопреки предположению о том, что $ x_1$ -- наименьшее значение из множества $ M_1$. Отсюда следует, что $ x_i>x_1$ при всех $ i\geqslant 2$.

Точно так же далее доказывается, что $ x_i>x_2$ при всех $ i\geqslant 3$, $ x_i>x_3$ при всех $ i\geqslant 4$, и т. д. Итак, $ \{x_i\}$ -- возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом $ b$. Поэтому существует $ \lim\limits_{i\to\infty}x_i=x'$. Из непрерывности функции $ f(x)$ следует, что существует $ \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x')$, но $ f(x_i)=f(a)+i\to+\infty$ при $ i\to\infty$, так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция $ f(x)$ ограничена сверху.

Аналогично доказывается, что $ f(x)$ ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.     

Очевидно, что ослабить условия теоремы нельзя: если функция не является непрерывной, то она не обязана быть ограниченной на отрезке (приведём в качестве примера функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0,
\end{array}\right.
$

на отрезке $ [-1;1]$. Эта функция не ограничена на отрезке, так как при $ x=0$ имеет точку разрыва второго рода, такую что $ \vert f(x)\vert\to+\infty$ при $ x\to0$. Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом или полуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию $ f(x)$ на полуинтервале $ (0;1]$. Функция непрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$.

Поиск наилучших постоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданном отрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума и максимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описывается следующей теоремой.

        Теорема 3.9 (о достижении экстремума непрерывной функцией)   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$. Тогда существует точка $ x_*\in[a;b]$, такая что $ f(x_*)\leqslant f(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ (то есть $ x_*$ -- точка минимума: $ f(x_*)=\min\limits_{x\in[a;b]}f(x)$), и существует точка $ x_{**}\in[a;b]$, такая что $ f(x_{**})\geqslant f(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ (то есть $ x_{**}$ -- точка максимума: $ f(x_{**})=\max\limits_{x\in[a;b]}f(x)$). Иными словами, минимальное и максимальное8 значения непрерывной функции на отрезке существуют и достигаются в некоторых точках $ x_*$ и $ x_{**}$ этого отрезка.

Рис.3.24.Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума


        Доказательство.     Так как по предыдущей теореме функция $ f(x)$ ограничена на $ [a;b]$ сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на $ [a;b]$ -- число $ K=\sup\limits_{x\in[a;b]}\{f(x)\}$. Тем самым, множества $ M_1=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-1\}$, $ {M_2=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-\frac{1}{2}\}}$,..., $ M_i=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-\frac{1}{i}\}$,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения $ x_i$: $ f(x_i\geqslant K-\frac{1}{i}$, $ i=1,2,\dots$. Эти $ x_i$ не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):

$\displaystyle x_1\leqslant x_2\leqslant x_3\leqslant \dots\leqslant x_i\leqslant \dots,$

и ограничены сверху числом $ b$. Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел $ \lim\limits_{i\to\infty}x_i=x_{**}.$ Так как $ f(x_i)\geqslant K-\frac{1}{i}$, то и

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x_{**})\geqslant
\lim\limits_{i\to\infty}(K-\frac{1}{i})=K,$

по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть $ f(x_{**})\geqslant K$. Но при всех $ x\in[a;b]$ $ f(x)\leqslant K$, и в том числе $ f(x_{**})\leqslant K$. Отсюда получается, что $ f(x_{**})=K$, то есть максимум функции достигается в точке $ x_{**}$.

Аналогично доказывается существование точки минимума.     

В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1+x,&\mbox{ при }x\in[-1;0);\\
0,&\mbox{ при }x\in[0;1],
\end{array}\right.
$

на отрезке $ [-1;1]$. Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что $ \vert f(x)\vert\leqslant 1$) и $ \sup\limits_{x\in[-1;1]}\{f(x)\}=1$, однако значение 1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что $ f(0)=0$, а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке $ x=0$, так что при $ x\to0-$ предел $ f(x)$ не равен значению функции в точке 0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию $ f(x)=x$ на интервале $ (0;1)$. Очевидно, что функция непрерывна и что $ \inf\limits_{x\in(0;1)}=0$ и $ \sup\limits_{x\in(0;1)}=1$, однако ни значения 0, ни значения 1 функция не принимает ни в какой точке интервала $ (0;1)$. Рассмотрим также функцию $ f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ на полуоси $ [0;+\infty)$. Эта функция непрерывна на $ [0;+\infty)$, возрастает, принимает своё минимальное значение 0 в точке $ x=0$, но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом  $ \dfrac{\pi}{2}$ и $ \sup\limits_{x\in[0;+\infty)}f(x)=\dfrac{\pi}{2}).$

Заметим, что доказанная теорема не даёт практического способа находить точки минимума и максимума функции на заданном отрезке. Такой способ мы обсудим позднее, когда изучим понятие производной. Однако теорема важна тем, что даёт нам уверенность в том, что искомый экстремум существует и мы сможем его отыскать.