‹-- Назад

Определение точек разрыва

Дадим теперь определение точек разрыва функции.

        Определение 3.2   Точка $ x_0$ называется точкой разрыва функции $ f(x)$, если она определена в некоторой проколотой окрестности точки $ x_0$ (то есть определена на некотором интервале, для которого $ x_0$ служит внутренней точкой, но в самой точке $ x_0$, возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) не существует предела слева $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$;

2) не существует предела справа $ \lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$;

3) пределы слева $ f(x_0-)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$ и справа $ f(x_0+)=\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$ существуют, но не равны друг другу: $ f(x_0-)\ne f(x_0+)$;

4) пределы слева $ f(x_0-)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$ и справа $ f(x_0+)=\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$ существуют и равны друг другу: $ f(x_0-)=f(x_0+)$, но не совпадают со значением функции в точке $ x_0$: $ f(x_0)\ne f(x_0-)=f(x_0+)$, или функция $ f(x)$ не определена в точке $ x_0$.

Если имеет место либо случай 3, либо случай 4, то точка разрыва $ x_0$ называется точкой разрыва первого рода, а поведение функции в окрестности точки $ x_0$ называется разрывом первого рода в точке $ x_0$; в случае 4 точка разрыва первого рода называется устранимой точкой разрыва, а разрыв функции в этой точке -- устранимым разрывом.

Если же имеет место либо случай 1, либо случай 2 (либо и тот и другой сразу), то точка разрыва $ x_0$ называется точкой разрыва второго рода, а поведение функции в окрестности этой точки -- разрывом второго рода в точке $ x_0$.     

Итак, если функция $ f(x)$ имеет разрыв первого рода в точке $ x_0$, то существуют, как часто говорят, значения функции "на берегах разрыва": $ f(x_0-)$ и $ f(x_0+)$, но точка $ x_0$ не является точкой непрерывности.

Рис.3.2.$ x_0$ -- точка разрыва первого рода


Если значения на берегах разрыва разные, то значение функции в точке $ x_0$ может быть любым (или вообще отсутствовать), всё равно $ x_0$ будет давать разрыв первого рода. Если же значения на берегах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке $ x_0$, либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию $ f(x)$ в точке $ x_0$, положив $ f(x_0)=f(x_0-)=f(x_0+)$, то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке $ x_0$ и разрыв в точке $ x_0$ исчезнет; отсюда и название такого разрыва -- устранимый.

Рис.3.3.$ x_0$ -- точка устранимого разрыва


Наконец, к разрывам второго рода, как видно из определения, относятся все разрывы, которые не принадлежат к разрывам первого рода; некоторые из возможных способов поведения функции в окрестности точки $ x_0$, где происходит разрыв второго рода, представлены на следующем рисунке.

Рис.3.4.$ x_0$ -- точка разрыва второго рода. Некоторые возможные варианты


        Пример 3.3   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$, для которой

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x^2-x\ne0\}=(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$

Функция имеет разрывы при $ x=0$ и при $ x=1$. Нетрудно видеть, что при $ x\ne0,\ x\ne1$ $ f(x)=\mathop{\rm sign}\nolimits (x^2-1)=\left\{\begin{array}{rl}
1,&\mbox{ если }x<0\mbox{ или }x>1;\\
-1,&\mbox{ если }0<x<1.
\end{array}\right.
$ В точках $ x=0$ и $ x=1$ функция имеет неустранимые разрывы первого рода. В точке $ x=0$ имеем:

$\displaystyle \lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}1=1;\ \lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}(-1)=-1$

(значения на краях разыва существуют, но не совпадают); в точке $ x=1$ --

$\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}(-1)=-1;\ \lim_{x\to1+}f(x)=\lim_{x\to1+}1=1$

(снова пределы слева и справа существуют, но не совпадают).     

Рис.3.5.График функции $ y=\frac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$


        Пример 3.4   Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и $ f(x)\to-\infty$ при $ x\to0-$.     

Рис.3.6.График функции $ f(x)=\frac{1}{x}$


        Пример 3.5   Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и при $ x\to0-$.     

Рис.3.7.График функции $ f(x)=\frac{1}{x^2}$


        Пример 3.6   Возьмём $ f(x)=\frac{\sin x}{x}$. Все точки области определения $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$ этой элементарной функции являются точками непрерывности. Поскольку $ x_0=0$ не входит в область определения функции $ f(x)$, но $ f(x)$ определена во всех точках любой проколотой окрестности 0, то 0 -- точка разрыва функции $ f(x)$. Разобранный выше пример 3.2 показывает, что если доопределить эту функцию при $ x_0=0$, положив $ {f(0)=1}$, то функция становится непрерывной в точке 0. Значит, 0 -- точка разрыва первого рода для функции $ f(x)=\frac{\sin x}{x}$.     

Рис.3.8.Устранимый разрыв функции $ \frac{\sin x}{x}$


        Пример 3.7   Рассмотрим функцию $ f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$. Её область определения $ {\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}}$ состоит из точек непрерывности, так как это элементарная функция. Точка $ {x_0=0}$, в которой функция не определена, -- это точка разрыва функции. Поскольку $ {-\dfrac{1}{x^2}\to-\infty}$ при $ {x\to0}$, то $ {\lim\limits_{x\to0}f(x)=0}$. Это означает, что при $ {x=0}$ функция имеет устранимый разрыв и становится непрерывной на всей вещественной оси, если положить $ {f(0)=0}$.     

Рис.3.9.Устранимый разрыв функции $ e^{-\frac{1}{x^2}}$


        Пример 3.8   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^n\sin\frac{1}{x}$, где $ n\in\mathbb{N}$. При $ x=0$ она имеет разрыв, так как $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$. Поскольку $ \sin\frac{1}{x}$ -- ограниченная функция, а $ x^n\to0$ при $ x\to0$, то $ \lim\limits_{x\to0}=0$ (по теореме 2.7). Следовательно, разрыв устранимый, и если доопределить функцию, положив $ f(0)=0$, она становится непрерывной при всех $ x\in\mathbb{R}$.     

Рис.3.10.График функции $ y=x^n\sin\frac{1}{x}$ при $ n=2$


        Пример 3.9   Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную равенством

$\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^nx.$

При $ x\ne k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, $ \vert\cos x\vert\in[0;1)$, так что последовательность $ y_n=(\cos x)^n=\cos^nx$ -- это геометрическая прогрессия со знаменателем $ q=\cos x$, $ \vert q\vert<1$, и $ f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}y_n=0.$ При $ x=2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, $ \cos x=1$, и все $ y_n=1^n=1$, так что $ f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}y_n=1.$ При $ x=\pi+2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, $ \cos x=-1$, и последовательность имеет вид

$\displaystyle y_1=-1,\ y_2=1,\ y_3=-1,\ y_4=1,\dots.$

Эта последовательность предела не имеет, так что функция $ f(x)$ не определена при $ x\in\pi+2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$.

Рис.3.11.График функции $ f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\cos^nx$


Получаем, что $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{x=\pi+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\}$. Точками разрыва этой функции служат как все точки, не принадлежащие области определения (точки вида $ x=\pi+2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$), так и все точки вида $ x=2k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$, в которых функция принимает значение 1. Все точки разрыва -- устранимые, так как пределы функции слева и справа в этих точках совпадают и равны 0.     

        Пример 3.10   Рассмотрим функцию $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}$; её область определения $ {\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}}$, и точка $ x=0$ -- точка разрыва. Рассмотрим поведение функции слева и справа от точки разрыва. При $ x\to0-$ будет $ \frac{1}{x}\to-\infty$ и $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}\to0$; при $ x\to0+$ будет $ \frac{1}{x}\to+\infty$ и $ f(x)=e^{\frac{1}{x}}\to+\infty$. Итак, значения "на правом берегу" разрыва не существует, и разрыв функции $ f(x)$ в точке $ x=0$ -- второго рода.     

Рис.3.12.График функции $ y=e^{\frac{1}{x}}$


        Замечание 3.1   Если функция $ f(x)$ не определена на интервале, примыкающем к точке $ x_0$ слева или справа, то точку $ x_0$ мы не считаем точкой разрыва функции.     

        Пример 3.11   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Её область определения -- $ {\mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:1-x^2>0\}=(-1;1)}$. При $ {x\to-1+}$ и при $ {x\to1-}$ знаменатель $ {\sqrt{1-x^2}}$ стремится к 0 и положителен, так что $ {f(x)\to+\infty}$. однако точки $ {x=-1}$ и $ {x=1}$ мы не считаем точками разрыва, так как функция $ f(x)$ не определена при $ {x<-1}$ и при    $ {x>1}$.     

Рис.3.13.График функции $ y=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$


        Пример 3.12   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\sin\dfrac{1}{x}$. Её область определения -- это $ {\mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}}$. Точка $ {x=0}$ не является точкой разрыва функции $ f(x)$, несмотря на характер её поведения при $ {x\to0+}$, поскольку функция $ f(x)$ не определена при $ {x<0}$.     

Рис.3.14.График функции $ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\sin\dfrac{1}{x}$