‹-- Назад

Определение непрерывности функции

Мы повторим здесь определение непрерывности функции, данное выше, в главе о пределах.

        Определение 3.1   Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$ -- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ [x_0;b)$, для которого $ x_0$ -- левый конец. Функция $ f(x)$ называется непрерывной справа в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0+$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть

$\displaystyle \lim_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0).$

Пусть, наконец, функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ (a;x_0]$, для которого $ x_0$ -- правый конец. Функция $ f(x)$ называется непрерывной слева в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0-$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть

$\displaystyle \lim_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0).$

    

Из теоремы о связи двустороннего предела с односторонними (теорема 2.1) сразу следует, как уже отмечалось в главе 2, что имеет место следующее предложение.

        Предложение 3.1   Функция $ f(x)$ тогда и только тогда непрерывна в точке $ x_0$, когда она непрерывна в точке $ x_0$ справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:

1) функция $ f(x)$ определена в точке $ x_0$ и в некоторой окрестности этой точки;

2) существует предел значений функции слева: $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0-)$;

3) существует предел значений функции справа: $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0+)$;

4) эти два предела совпадают между собой и со значением функции в точке $ x_0$: $ f(x_0-)=f(x_0+)=f(x_0)$.     


Рис.3.1.Функция непрерывна: пределы слева и справа совпадают с $ f(x_0)$


Точка $ x_0$, в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности функции $ f(x)$; так же определяются точки непрерывности слева и справа.

        Пример 3.1   Пусть $ f(x)=\sqrt{\vert x\vert}$ и $ x_0=0$. Тогда $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\sqrt{\vert x\vert}=0$ и $ {f(0)=\sqrt{0}=0}$. Эти значения совпадают, значит, функция $ f$ непрерывна в точке $ x_0=0$.

(Функция $ f(x)=\sqrt{\vert x\vert}=(x^2)^{\frac{1}{4}}$ -- элементарная функция; $ x_0=0$ -- точка её области определения $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$. Все элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своих областей определения, в том числе и эта. Так что в этом примере можно было бы заменить $ f(x)$ любой элементарной функцией, а $ x_0=0$ -- любой внутренней точкой области $ \mathcal{D}(f)$, и вывод остался бы тем же.)     

        Пример 3.2   Рассмотрим функцию $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\sin x}{x},&\mbox{при }x\ne0;\\
1,&\mbox{при }x=0\end{array}\right.$ и точку $ {x_0=0}$. При $ {x\ne0}$ функция задаётся формулой $ {f(x)=\dfrac{\sin x}{x}}$, при этом имеем $ {\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1}$ (первый замечательный предел). Это значение совпадает с тем, которое задано при $ x=0$: $ f(0)=1$. Итак, $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)=1$, что означает непрервыность функции $ f$ при $ x_0=0$.     

Тем, кто внимательно изучил данное в главе 2 общее понятие базы предела, можно предложить продумать и доказать следующее утверждение:

        Предложение 3.2   Пусть $ \mathcal{B}(x_0)$ -- база непроколотых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат интервалы $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, $ {\delta}>0$; $ \mathcal{B}(x_0-)$ -- база непроколотых левых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат полуинтервалы $ (x_0-{\delta};x_0]$, $ {\delta}>0$; $ \mathcal{B}(x_0+)$ -- база непроколотых правых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат полуинтервалы $ [x_0;x_0+{\delta})$, $ {\delta}>0$. Тогда непрерывность функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ эквивалентна тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)}f(x)$; непрерывность слева в точке $ x_0$ -- тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0-)}f(x)$; непрерывность справа в точке $ x_0$ -- тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0+)}f(x)$.