‹-- Назад

Таблица эквивалентных бесконечно малых при $ x\to0$

Как показывает приведённый выше пример 2.36, пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые. Для того, чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида $ \left[\frac{0}{0}\right]$) можно было применять к возможно большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных бесконечно малых величин. Для наиболее употребительной базы $ x\to0$ создадим такой запас в виде таблицы "стандартных" эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу $ x\to0$, для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак $ \sim$ вместо $ \mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0}}$.

1) $ \sin x\sim x$. Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность $ \sin x$ и $ x$ при $ x\to0$ означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.

2) $ \arcsin x\sim x$. Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.

3) $ \mathop{\rm tg}\nolimits x\sim x$. Докажем эту эквивалентность:

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{x}=
\lim_{x\to0}\...
...lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}}{\lim\limits_{x\to0}\cos x}=\dfrac{1}{1}=1.$

4) $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x\sim x$. Докажите это в качестве упражнения, сделав замену $ z=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ и применив предыдущую табличную формулу.

5) $ 1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}$. Для доказательства воспользуемся формулой $ 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$. Далее, имеем:

\begin{multline*}
\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2/2}=
\lim_{x\to0}\dfrac{2\si...
...ot
\lim_{x\to0}\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=1\cdot1=1.
\end{multline*}

Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.

6) $ \log_a(1+x)\sim\dfrac{x}{\ln a}$ ( $ a>0,\ a\ne1$). Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:

\begin{multline*}
\dfrac{\log_a(1+x)}{\dfrac{x}{\ln a}}=\ln a\cdot\dfrac{1}{x}\...
...\dfrac{\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\ln a}=
\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}.
\end{multline*}

Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:

$\displaystyle \lim_{x\to0}\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=
\ln\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=
\ln e=1,$

и мы доказали формулу 6.

В частном случае, при $ a=e$, получаем эквивалентность

$ 6'$) $ \ln(1+x)\sim x$.

7) $ a^x-1\sim x\ln a$ ( $ a>0,\ a\ne1$). Для доказательства сделаем замену $ z=\log_a(1+x)$ и выразим $ x$ через $ z$: $ x=a^z-1$. Согласно формуле 6, $ z\sim\dfrac{x}{\ln a}$ при $ x\to0$, откуда $ x\sim z\ln a$. Из непрерывности логарифма следует, что $ z\xrightarrow {x\to0}0$ и, значит, $ a^z-1\sim z\ln a$ при $ {z\to0}$. В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного $ z$ на $ x$, чтобы получить формулу 7.

В частном случае, при $ a=e$, получаем эквивалентность

$ 7'$) $ e^x-1\sim x$.

Сведём теперь полученные формулы в итоговую таблицу. Всюду в ней $ x\to0$.

1) $ \sin x\sim x$.
2) $ \arcsin x\sim x$.
3) $ \mathop{\rm tg}\nolimits x\sim x$.
4) $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x\sim x$.
5) $ 1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}$.
6) $ \log_a(1+x)\sim\dfrac{x}{\ln a}$ ( $ a>0,\ a\ne1$).
$ 6'$) $ \ln(1+x)\sim x$.
7) $ a^x-1\sim x\ln a$ ( $ a>0,\ a\ne1$).
$ 7'$) $ e^x-1\sim x$.

Приведём примеры применения табличных формул для раскрытия неопределённостей вида $ \left[\frac{0}{0}\right]$.

        Пример 2.37   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{5x}-e^{2x}}{\sin7x-\sin3x}$. Для этого в числителе вынесем за скобку $ e^{2x}$, а к знаменателю применим формулу $ {\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos\dfrac{{\alpha}+{\beta}}{2}\sin\dfrac{{\alpha}-{\beta}}{2}}$, где $ {\alpha}=7x$, $ {\beta}=3x$. Получим

\begin{multline*}
\lim_{x\to0}\dfrac{e^{5x}-e^{2x}}{\sin7x-\sin3x}
=\lim_{x\to...
...=
\dfrac{3}{4}\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}}{\cos5x}=\dfrac{3}{4}.
\end{multline*}

Мы заменили $ e^{3x}-1$ на эквивалентную величину $ 3x$ (учтя при этом, что $ 3x\to0$ при $ x\to0$), $ \sin2x$ на эквивалентную величину $ 2x$ (учтя, что $ 2x\to0$ при $ x\to0$), затем сократили числитель и знаменатель на $ x$ и, наконец, воспользовались тем, что функции $ e^{2x}$ и $ \cos5x$ непрерывны и что $ e^0=1$ и $ \cos0=1$.     

        Пример 2.38   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}.$

Заменим в числителе $ \sin^23x$ на эквивалентную величину $ (3x)^2$, а знаменатель $ {1-\cos x^2}$ -- на эквивалентную величину $ \dfrac{(x^2)^2}{2}$. После этого можно будет сократить дробь на $ x^4$ и получить ответ:

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}=
\lim_{x\to0}\dfrac{x^2\cdot(3x)^2}{\dfrac{(x^2)^2}{2}}=
\lim_{x\to0}\dfrac{9x^4}{\dfrac{x^4}{2}}=18.$

    

Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе $ x\to0$. Следовательно, те же эквивалентности имеют место и при односторонних базах $ x\to0+$ и $ x\to0-$. Если же рассматриваемый пример содержит неопределённость вида $ \left[\dfrac{0}{0}\right]$ при какой-либо другой базе, то часто предел можно свести к пределу при "стандартной" базе $ x\to0$ (или $ x\to0+$, или $ x\to0-$) с помощью подходящей замены переменной, а затем воспользоваться табличными эквивалентностями.

        Пример 2.39   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}$.

Если сделать замену $ t=x-\pi$, то при $ x\to\pi$ новая переменная $ t$ будет, очевидно, стремиться к 0, то есть база $ x\to\pi$ перейдёт при такой замене в "стандартную" базу $ t\to0$. Подставляя $ x=t+\pi$ и учитывая формулу приведения для косинуса, получаем:

$\displaystyle \lim_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}=
\lim_{t\to0}\dfrac{1+...
...0}\dfrac{1-\cos t}{t^2}=
\lim_{t\to0}\dfrac{\dfrac{t^2}{2}}{t^2}=\dfrac{1}{2}.$

Мы применили табличную формулу $ 1-\cos t\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{t\to0}}\dfrac{t^2}{2}$, а затем сократили дробь на $ t^2$ и получили ответ.     

Применяя формулы таблицы эквивалентностей бесконечно малых последовательно, мы можем получать (и использовать для вычисления пределов) цепочки эквивалентностей произвольной длины.

        Пример 2.40   Можно, например, получить следующую формулу:

\begin{multline*}
e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1\mathrel{\mathop{\sim}\lim...
...p{\sim}\limits_{x\to0+}}\dfrac{(\sqrt{x})^2}{2}=
\dfrac{x}{2}.
\end{multline*}

Здесь мы последовательно воспользовались формулами

$\displaystyle e^{\alpha}-1\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{{\alpha}\to0}}{\alpha}...
...1-\cos{\delta}\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{{\delta}\to0}}\frac{{\delta}^2}{2}$

и учли, что величины $ {\alpha}=\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}$, $ {\beta}=\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}$, $ {\gamma}=\cos\sqrt{x}-1$, $ {\delta}=\sqrt{x}$ являются бесконечно малыми при $ x\to0+$.

Используя полученную в результате эквивалентность

$\displaystyle e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0+}}\dfrac{x}{2},$

мы можем, например, вычислить предел

$\displaystyle \lim_{x\to0+}\dfrac{e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1}{x}=\lim_{x\to0+}
\dfrac{\frac{x}{2}}{x}=\dfrac{1}{2}.$