‹-- Назад


Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Выше, в примерах 2.17 и 2.23, мы отмечали, что, фактически, при вычислении этих пределов использовали соображения, связанные с непрерывностью функций. Дадим теперь строгое определение непрерывности и обсудим способы вычисления пределов с помощью этого понятия.

        Определение 2.14   Пусть $ x_0$ -- внутренняя точка области определения функции $ f(x)$, то есть функция $ f(x)$ определена при всех $ x$ из некоторого интервала $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ ( $ {\delta}>0$), окружающего точку $ x_0$. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

(то есть предполагается, что этот предел существует и равен значению функции в указанной точке).    

Рис.2.34.Функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ x_0$


        Пример 2.28   При доказательстве теоремы о первом замечательном пределе нами было получено, что $ \lim\limits_{x\to0+}\sin x=0$ (формула (2.3)). Так как $ \sin(-x)=-\sin x$, то с помощью замены $ t=-x$ легко показать, что $ {\lim\limits_{x\to0-}\sin x=0,}$ а из теоремы о связи односторонних и двустороннего пределов отсюда следует, что

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\sin x=\sin0=0.$

Эта формула означает, что функция $ f(x)=\sin x$ непрерывна в точке $ x_0=0$.

Там же была получена формула (2.4): $ {\lim\limits_{x\to0+}\cos x=1.}$ Пользуясь тем, что $ {\cos(-x)=\cos x}$, и сделав замену $ {t=-x}$, получим, что $ {\lim\limits_{x\to0-}\cos x=1.}$ Поэтому и

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\cos x=\cos0=1.$

Это означает, что функция $ {g(x)=\cos x}$ также непрерывна при $ {x_0=0}$.

Покажем, что функция $ \sin x$ непрерывна при любом $ x_0\in\mathbb{R}$. По определению, для этого нужно доказать, что

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\sin x=\sin x_0.$

Положим $ h=x-x_0$ и заметим, что база $ x\to x_0$ при такой замене переходит в базу $ h\to0$. Далее,

$\displaystyle \sin x=\sin(x_0+h)=\sin x_0\cos h+\cos x_0\sin h.$

Поэтому

\begin{multline*}
\lim_{x\to x_0}\sin x=\lim_{h\to0}\sin(x_0+h)=
\lim_{h\to0}(...
... x_0\lim_{h\to0}\sin h=
\sin x_0\cdot1+\cos x_0\cdot0=\sin x_0
\end{multline*}

(здесь мы воспользовались линейностью предела; $ \sin x_0$ и $ \cos x_0$ были при этом постоянными коэффициентами), что и доказывает непрерывность синуса.

Совершенно аналогично, с использованием формулы

$\displaystyle \cos(x_0+h)=\cos x_0\cos h-\sin x_0\sin h,$

доказывается непрерывность при любом $ x_0$ функции $ \cos x$.     

        Определение 2.15   Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ [x_0;x_0+{\delta})$ ( $ {\delta}>0$), примыкающем к точке $ x_0$ справа. Функция $ f(x)$ называется непрерывной справа в точке $ x_0$, если существует предел $ \lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$, и

$\displaystyle \lim_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0).$

Рис.2.35.Функция $ f(x)$ непрерывна справа в точке $ x_0$


Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ (x_0-{\delta};x_0]$ ( $ {\delta}>0$), примыкающем к точке $ x_0$ слева. Функция $ f(x)$ называется непрерывной слева в точке $ x_0$, если существует $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$, и

$\displaystyle \lim_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0).$

Рис.2.36.Функция $ f(x)$ непрерывна слева в точке $ x_0$


    

Из теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним сразу следует такая

        Теорема 2.18   Функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ x_0$ тогда и только тогда, когда она непрерывна справа в точке $ x_0$ и непрерывна слева в точке $ x_0$.     

Поскольку $ x_0=\lim\limits_{x\to x_0}x$, то непрерывность функции в точке $ x_0$ означает, что обозначения функции $ f$ и предела $ \lim\limits_{x\to x_0}$ можно поменять местами:


То же касается и непрерывности слева и справа.

Назовём элементарной любую функцию $ f(x)$ переменного $ x$ из следующего списка:

$\displaystyle C;x^m;a^x;\sin x$

($ C,m,a$ -- произвольные постоянные вещественные числа, $ a>0$), а также любую функцию, полученную из этих элементарных функций при помощи композиций, арифметических операций, перехода к обратной функции.

При этом в число элементарных функций попадают, например, все многочлены

$\displaystyle P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$

(где $ a_0,\dots,a_n$ -- постоянные), все рациональные дроби

$\displaystyle R(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$

(где $ P(x)$ и $ Q(x)$ -- многочлены), а также $ \cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$, $ \mathop{\rm tg}\nolimits x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $ \arcsin x$ (обратная к главной ветви $ \sin$), $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x$ (обратная к главной ветви $ \mathop{\rm tg}\nolimits $), $ \log_a x$ (обратная к $ a^x$) и другие функции, с которыми можно было встретиться ещё в школьном курсе анализа.

Однако не все функции, рассматривающиеся в курсе математического анализа, являются элементарными. Примером может служить довольно часто употребляющаяся функция

$\displaystyle \mathop{\rm sign}\nolimits x=\left\{\begin{array}{rl}
-1&\text{ при }x<0;\\
0&\text{ при }x=0;\\
1&\text{ при }x>0.
\end{array}\right.$

Рис.2.37.График функции $ \mathop{\rm sign}\nolimits x$


Если бы не значение $ \mathop{\rm sign}\nolimits 0=0$, её можно было бы рассматривать как элементарную: при $ x\ne0$ она совпадает с функцией

$\displaystyle g(x)=\dfrac{(x^2)^{\frac{1}{2}}}{x}=\dfrac{\vert x\vert}{x},$

которая при $ x=0$ не определена. Однако незначительное, на первый взгляд, отличие играет ключевую роль с точки зрения следующей теоремы.

        Теорема 2.19   Любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Частичное доказательство теоремы мы приведём ниже, в главе о свойствах непрерывных функций. Заметим, что выше мы уже доказали непрерывность функции $ \sin x$. Полное доказательство теоремы можно найти в подробных учебниках по математическому анализу, например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1 или С. М. Никольский, Курс математического анализа, т. 1.    

В качестве примера рассмотрим только что введённую функцию $ g(x)=\dfrac{\vert x\vert}{x}$. Её график таков:

Рис.2.38.График функции $ g(x)=\frac{\vert x\vert}{x}$


Для любой точки $ x_0$ из области определения этой функции либо $ x_0>0$, и тогда $ g(x)=1$ при всех $ x$ из некоторой окрестности точки $ x_0$, либо $ x_0<0$, и тогда $ g(x)=-1$ при всех $ x$ из некоторой окрестности точки $ x_0$. Очевидно, что тогда в первом случае

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=
\lim\limits_{x\to x_0}1=1=g(x_0),$

а во втором --

$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=
\lim\limits_{x\to x_0}(-1)=-1=g(x_0),$

то есть функция непрерывна в любой точке $ x_0$ своей области определения.

В случае функции $ \mathop{\rm sign}\nolimits x$ всё дело "портит" точка $ x_0=0$: очевидно, что

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}\mathop{\rm sign}\nolimits x=
\lim\limits_{x\to0+}1=1\ne0=\mathop{\rm sign}\nolimits 0,$

то есть в точке 0 нет непрерывности справа. (Точно так же нет и непрерывности слева.)

Используя непрерывность элементарных функций, на основании общих теорем можно во многих (простых) случаях находить значение пределов прямой подстановкой предельного значения $ x$ в выражение, стоящее под знаком предела. Именно так мы поступим при вычислении предела в следующем примере.

        Пример 2.29   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2+\cos x}{\sin x+2e^x}$.

Поскольку функция $ f(x)=\dfrac{x^2+\cos x}{\sin x+2e^x}$ -- элементарная, причём $ x_0=0$ -- точка её области определения (так как $ \sin0+2e^0=2\ne0$), то для нахождения предела достаточно воспользоваться равенством (2.6) и подставить вместо $ x$ предельное значение 0:

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}f(x)=\dfrac{0^2+\cos 0}{\sin 0+2e^0}=\frac{1}{2}.$

    

Прямую подстановку использовать нельзя в тех случаях, когда мы не можем вычислить значение элементарной функции, стоящей под знаком предела, в данной предельной точке $ x_0$. В этом случае говорят, что задающее функцию выражение, а также и сам предел представляют собой неопределённость. Выше мы уже встречались с неопределённостями вида $ [1^{\infty}]$. Бывают ещё неопределённости вида $ [\frac{0}{0}]$, $ [\frac{\infty}{\infty}]$, $ [\infty-\infty]$, $ [\infty\cdot0]$ и других видов, заданные выражениями, не имеющими формального смысла. С символами в этих выражениях нельзя обращаться, как с числами в обычных дробях, разностях, произведениях и т. д. В частности, "дроби" $ [\frac{0}{0}]$, $ [\frac{\infty}{\infty}]$ вовсе не всегда означают пределы, значение которых равно единице. Например, $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{2x}{x}=[\frac{0}{0}]=2$, а $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}=[\frac{0}{0}]=0$; $ \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^3}{2x^3}=[\frac{\infty}{\infty}]=\frac{1}{2}$, а $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\mathop{\rm ctg}\nolimits 2x}{\mathop{\rm ctg}\nolimits 5x}=[\frac{\infty}{\infty}]=\frac{5}{2}.$ (Вычислите все эти пределы в качестве упражнения.) "Разности" вида $ [\infty-\infty]$ отнюдь не всегда обозначают неопределённости, которые после раскрытия предела дадут 0. Например, $ \lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x-1}-\sqrt{x-3})=[\infty-\infty]=0$ (здесь на самом деле получается 0), а $ \lim\limits_{x\to\infty}(\sqrt{x^2-2x+3}-\sqrt{x^2-3x+2})=[\infty-\infty]=
\frac{1}{2}$. (Эти два примера будут вам предложены для решения ниже, в разделе Упражнения на вычисление пределов.)

Так что получается, что вся теория вычисления (нетривиальных) пределов -- это изучение способов раскрытия неопределённостей.

Во многих случаях, чтобы раскрыть неопределённость, достаточно каким-либо образом преобразовать стоящую под знаком предела функцию, после чего нахождение предела сводится к применению общих теорем (о пределе суммы, произведения, частного и т. п.), а также теорем о первом и втором замечательных пределах. Многие такие примеры мы разбирали выше. А вот ещё один типичный пример.

        Пример 2.30   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}$.

Данный предел представляет собой неопределённость, так как при $ x=2$ как числитель, так и знаменатель обращаются в 0 (это неопределённость вида $ \left[\frac{0}{0}\right]$). Так что просто подставить 2 вместо $ x$ в исходную дробь нельзя. Однако если разложить числитель и знаменатель на множители (для чего найдём корни числителя: $ x=1$ и $ x=2$ -- и знаменателя: $ x=2$ и $ x=4$), получим $ x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ и $ x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, и видно, что дробь (при $ x\ne2$) можно упростить, сократив на $ (x-2)$. Поскольку при $ x\to2$ мы считаем, что $ x\ne2$, то

$\displaystyle \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}=\lim_{x\to2}\dfrac{x-1}{x-4}.$

В последнем пределе дробь $ \dfrac{x-1}{x-4}$ непрерывна при $ x=2$, так как точка 2 входит в область определения этой элементарной функции. Поэтому $ \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x-1}{x-4}=\dfrac{2-1}{2-4}=-\dfrac{1}{2}$ и, следовательно,

$\displaystyle \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}=-\dfrac{1}{2}.$

    

        Упражнение 2.7   Найдите предел $ \lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-5x+4}{x^2-4x+3}$. (При этом числитель и знаменатель можно сократить на $ (x-1)$. Ответ: $ \dfrac{3}{2}$.)     

        Упражнение 2.8   Найдите предел $ \lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{\sin^22x}{\sin4x}$. (При этом знаменатель можно представить в виде $ 2\sin2x\cos2x$, а затем сократить дробь на $ \sin2x$. Ответ: 0.)