‹-- Назад


Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

        Определение 2.13   Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и имеет следующее свойство:
для любого, как угодно большого, положительного числа $ N$ можно найти такое окончание $ E_N$ базы $ \mathcal{B}$, что при любом $ x\in E_N$ будет выполнено неравенство

$\displaystyle \vert f(x)\vert>N.$

Рис.2.29.Бесконечно большая при базе $ \mathcal{B}$


Тогда функция $ f(x)$ называется бесконечно большой при базе $ \mathcal{B}$; это обозначается так:

$\displaystyle \vert f(x)\vert\xrightarrow {\mathcal{B}}+\infty,$

или так:

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\vert f(x)\vert=+\infty,$

или даже так:

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}f(x)=\infty.$

Если при этом $ f(x)>N$ при $ x\in E_N$, то для положительной бесконечно большой $ f(x)$ можно писать $ f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}+\infty$ или $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=+\infty$, а если $ f(x)<-N$, то для отрицательной бесконечно большой $ f(x)$ можно писать $ f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}-\infty$ или $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=-\infty$.     

Нужно, конечно, чётко осознавать, что предел, равный бесконечности, -- это чисто условная запись и что в этом случае никакого числового значения такой предел не имеет и, следовательно, не существует, в смысле определения предела функции.

        Пример 2.24   Примером бесконечно большой при $ {x\to+\infty}$ может служить $ {f(x)=x}$: в качестве окончания $ E_N$ можно тогда взять $ {(N;+\infty)}$. Очевидно, что тогда $ {f(x)=x>N}$, если $ {x\in E_N=(N;+\infty)}$.

Рис.2.30.График $ y=x$


    

        Пример 2.25   Примером положительной бесконечно большой при $ x\to0$ может служить $ f(x)=\dfrac{1}{x^2}$.

Рис.2.31.График $ y=\dfrac{1}{x^2}$


В качестве упражнения найдите зависимость числа $ {\delta}>0$, задающего окончание $ (-{\delta};0)\cup(0,{\delta})$ базы $ x\to0$, от числа $ N$.     

        Пример 2.26   Примером отрицательной бесконечно большой при $ x\to0+$ может служить функция $ f(x)=\ln x$.

Рис.2.32.График $ y=\ln x$


В качестве упражнения найдите зависимость числа $ {\delta}>0$, задающего окончание $ (0;{\delta})$ базы $ x\to0+$, от числа $ N$.     

Связь бесконечно больших и бесконечно малых величин устанавливает следующая теорема.

        Теорема 2.16   Пусть $ f(x)$ -- функция, бесконечно большая при базе $ \mathcal{B}$. Тогда величина $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{f(x)}$ -- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.

        Доказательство.     Для начала заметим, что на всех достаточно далёких окончаниях $ E$ базы $ \mathcal{B}$ будет $ \vert f(x)\vert>N>0$, так что функция $ {\alpha}(x)$ определена на этих окончаниях. Далее, пусть взято некоторое $ {\varepsilon}>0$. Положим $ N=\dfrac{1}{{\varepsilon}}$ и выберем такое окончание $ E$, что $ \vert f(x)\vert>N=\dfrac{1}{{\varepsilon}}$ при $ x$ из этого окончания. Тогда $ \vert{\alpha}(x)\vert=\dfrac{1}{\vert f(x)\vert}<\dfrac{1}{N}={\varepsilon}$ при таких $ x$, что и означает, что $ {\alpha}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0$.     

        Замечание 2.9   Утверждение, обратное к доказанной теореме, вообще говоря, неверно: если $ {\alpha}(x)$ -- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$, то функция $ f(x)=\dfrac{1}{{\alpha}(x)}$ не всегда является бесконечно большой при базе $ \mathcal{B}$, хотя бы потому, что может быть не определена ни на каком окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$. Простейший пример -- это постоянная величина $ {\alpha}=0$, которая, очевидно, бесконечно мала при любой базе ( $ \lim\limits_{\mathcal{B}}0=0$), но $ \dfrac{1}{{\alpha}}$ не имеет смысла ни при каких $ x$. Однако если сделать дополнительное предположение, что $ {\alpha}(x)\ne0$ при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$, то обратное утверждение становится верным.     

        Теорема 2.17   Пусть $ {\alpha}(x)$ -- такая бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$, что $ {\alpha}(x)\ne0$ при всех $ x$ из некоторого окончания базы $ \mathcal{B}$. Тогда функция $ f(x)=\dfrac{1}{{\alpha}(x)}$ -- бесконечно большая при базе $ \mathcal{B}$.    

Докажите эту теорему в качестве упражнения.

Утверждение, что некоторая функция $ f(x)$ является бесконечно большой положительной величиной при базе $ \mathcal{B}$ означает при вычислении пределов, что при замене $ y=f(x)$ база $ \mathcal{B}$ переходит в базу $ y\to+\infty$. Если же $ y=f(x)$ -- отрицательная бесконечно большая, то после замены получится база $ y\to-\infty$. Прослеживая за изменениями баз при последовательных заменах, можно вычислять многие пределы.

        Пример 2.27   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0+}e^{-\frac{1}{x}}$.

Рассмотрим замену $ t=\dfrac{1}{x}$. При $ x\to0+$ будет $ t=\dfrac{1}{x}\to+\infty$. Пусть теперь $ z=-t$. При $ t\to+\infty$ будет $ z=-t\to-\infty$. Наконец, пусть $ y=e^z$. При $ z\to-\infty$ будет $ y=e^z\to0+$. (См. графики, расположенные ниже.) Последнее соотношение означает, что

$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}e^{-\frac{1}{x}}=0$

(и что, вдобавок, величина $ y$ остаётся положительной).     


Рис.2.33.Графики зависимостей $ t=\dfrac{1}{x}$, $ z=-t$, $ y=e^z$


Заметим, что при решении было важно отследить изменение функций именно при $ x$, стремящемся к 0 справа. В качестве упражнения покажите, что если бы рассматривалась база $ x\to0-$, то получилась бы бесконечно большая положительная величина $ y=e^{-\frac{1}{x}}$, а при базе $ x\to0$ величина $ y$ не имеет никакого предела и не является бесконечно большой.