‹-- Назад

Общие свойства пределов

В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства функций, имеющих произвольное значение предела.

        Теорема 2.8   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют пределы при одной и той же базе  $ \mathcal{B}$:

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1;\quad \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2.$

Тогда функция $ h(x)=f(x)+g(x)$ также имеет предел при базе $ \mathcal{B}$, и этот предел $ L$ равен сумме пределов слагаемых:

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)+\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_1+L_2=L.$

        Доказательство.     Равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1$ означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина $ {\alpha}(x)=f(x)-L_1$ -- бесконечно малая; равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2$ -- что $ {\beta}(x)=g(x)-L_2$ -- бесконечно малая. Поэтому по теореме 2.5 сумма

$\displaystyle {\alpha}(x)+{\beta}(x)=(f(x)+g(x))-(L_1+L_2)=h(x)-L$

также является бесконечно малой. Теорема 2.4 утверждает, что тот факт, что разность $ h(x)-L$ бесконечно мала, означает, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$; это и требовалось доказать.     

        Замечание 2.2   В доказанной теореме не утверждается, что если существует предел суммы, то существуют и пределы слагаемых. Это неверно, что показывает простейший пример: пусть $ f(x)=x$ и $ g(x)=-x$. Тогда $ f(x)+g(x)=0$ и предел $ \lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)+g(x))=0$, в то время как пределы при $ x\to\pm\infty$ функций $ f(x)$ и $ g(x)$ не существуют.

Так что из несуществования пределов слагаемых не следует несуществование предела суммы.     

        Теорема 2.9   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют пределы при одной и той же базе  $ \mathcal{B}$:

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1;\quad \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2.$

Тогда функция $ h(x)=f(x)g(x)$ также имеет предел при базе $ \mathcal{B}$, и этот предел $ L$ равен произведению пределов сомножителей:

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)\cdot\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_1L_2=L.$

        Доказательство.     Равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1$ означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина $ {\alpha}(x)=f(x)-L_1$ -- бесконечно малая; равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2$ -- что $ {\beta}(x)=g(x)-L_2$ -- бесконечно малая. Поэтому $ f(x)=L_1+{\alpha}(x)$ и $ g(x)=L_2+{\beta}(x)$, откуда

$\displaystyle f(x)g(x)=(L_1+{\alpha}(x))(L_2+{\beta}(x))=L_1L_2+L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)+{\alpha}(x){\beta}(x)$

или

$\displaystyle f(x)g(x)-L_1L_2=L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)+{\alpha}(x){\beta}(x).$

Покажем, что в правой части этого равенства стоит бесконечно малая величина. Величина $ L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)$ -- бесконечно малая согласно следствию 2.3, а величина $ {\alpha}(x){\beta}(x)$ -- бесконечно малая по теореме 2.7 (величина $ {\beta}(x)$ имеет предел, равный 0, и, следовательно, локально ограничена по теореме 2.6). Поскольку разность между функцией $ h(x)=f(x)g(x)$ и постоянной $ L=L_1L_2$ бесконечно мала при базе $ \mathcal{B}$, то по теореме 2.4 $ \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$; это и требовалось доказать.     

        Замечание 2.3   Сделаем замечание, аналогичное замечанию 2.2: если существует предел произведения, то отсюда не следует, что существуют пределы каждого из сомножителей; доказанная теорема этого не утверждает. Приведём пример, который был уже разобран выше: функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}\cdot\sin x$ при $ x\to\pm\infty$ имеет предел, равный 0, однако предела $ \sin x$ при $ x\to\pm\infty$ не существует (хотя другой множитель, $ \dfrac{1}{x}$, имеет предел при этой базе).

Так что из несуществования предела у какого-нибудь сомножителя не следует несуществование предела произведения.     

        Следствие 2.4   Пусть $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$ и $ C=\mathrm{const}$ (то есть $ C$ -- постоянная величина). Тогда существует предел функции $ Cf(x)$, равный $ CL$:

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}Cf(x)=CL.$

        Доказательство.     Для доказательства достаточно заметить, что, согласно примеру 2.4, $ \lim\limits_{\mathcal{B}}C=C$, и применить теорему 2.9.     

Доказанное следствие означает, что постоянный множитель $ C$ можно выносить за знак предела, а также вносить под знак предела. Иными словами, умножение на постоянную и переход к пределу можно менять местами.

        Следствие 2.5   Пусть функции $ f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x)$ имеют при базе $ \mathcal{B}$ пределы, равные соответственно $ L_1,L_2,\dots,L_n$, и $ C_1,C_2,\dots,C_n$ -- постоянные. Тогда

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}(C_1f_1(x)+C_2f_2(x)+\ldots+C_nf_n(x))=
C_1L_1+C_2L_2+\ldots+C_nL_n.$

        Доказательство.     Оно состоит в последовательном $ (n-1)$-кратном применении теоремы 2.8 к слагаемым $ C_kf_k(x)$, предел которых, согласно предыдущему следствию, равен $ C_kL_k$.     

В качестве частного случая можно рассмотреть предел разности двух функций. Разность $ f(x)-g(x)$ можно представить в виде $ 1\cdot f(x)+(-1)\cdot g(x)$ и применить следствие 2.5 к этой сумме из двух слагаемых. Получим тогда, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}(f(x)-g(x))=\lim_{\mathcal{B}}f(x)-\lim_{\mathcal{B}}g(x),$

то есть что разность (как и сумма) сохраняется при переходе к пределу.

        Замечание 2.4   Утверждение следствия 2.5, с алгебраической точки зрения, означает, что, во-первых, множество $ \mathcal{L}_{\mathcal{B}}$ всех функций, заданных на фиксированном окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и имеющих предел при базе $ \mathcal{B}$ -- это линейное пространство, а во-вторых -- что операция взятия предела $ \lim\limits_{\mathcal{B}}$ -- это линейное отображение линейного пространства $ \mathcal{L}_{\mathcal{B}}$ в линейное пространство вещественных чисел $ \mathbb{R}$. Попросту: переход к пределу сохраняет суммирование и умножение на постоянные.    

Предел отношения двух функций $ \dfrac{f(x)}{g(x)}$, в отличие от суммы, разности и произведения, не обязательно равен отношению пределов числителя $ f(x)$ и знаменателя $ g(x)$, даже если пределы $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)$ и $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)$ существуют. Дело в том, что предел знаменателя может равняться нулю, и отношение пределов тогда не имеет смысла, в то время как предел отношения $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ при этом вполне может существовать. Приведём такой простейший пример:

        Пример 2.15   Пусть $ f(x)=x^2$, $ g(x)=x$ и взята база $ \mathcal{B}=\{x\to0\}$. Тогда, очевидно, $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=0$, $ \lim\limits_{x\to0}g(x)=0$ и отношение пределов $ \dfrac{\lim\limits_{x\to0}f(x)}{\lim\limits_{x\to0}g(x)}$ не имеет смысла. При этом $ \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{x^2}{x}=x$ при $ x\ne0$ и предел отношения существует: $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to0}x=0$.     

Оказывается, условия $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)\ne0$, которое обеспечивает то, что отношение пределов имеет смысл, -- этого условия достаточно для того, чтобы предел отношения двух функций был равен отношению их пределов. Ниже мы докажем соответствующую теорему, а пока докажем такое вспомогательное утверждение.

        Лемма 2.1   Пусть при некоторой базе $ \mathcal{B}$ существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L\ne0$. Тогда функция $ h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ определена на некотором окончании этой базы и локально ограничена при этой базе.

        Доказательство.     Возьмём положительное число $ {\varepsilon}=\dfrac{\vert L\vert}{2}$. По определению предела, в базе $ \mathcal{B}$ найдётся такое окончание $ E$, что при всех $ x\in E$ будет $ \vert g(x)-L\vert<{\varepsilon}=\dfrac{\vert L\vert}{2}$. Это неравенство можно привести к виду

$\displaystyle -\dfrac{\vert L\vert}{2}+L<g(x)<\dfrac{\vert L\vert}{2}+L.$ (2.2)

При $ L>0$ это неравенство означает, что $ \dfrac{L}{2}<g(x)<\dfrac{3L}{2}$; так как $ \dfrac{L}{2}>0$, то и $ g(x)>0$ при всех $ x\in E$ и, следовательно, функция $ h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ определена во всех точках окончания $ E$ и удовлетворяет неравенству

$\displaystyle 0<h(x)=\dfrac{1}{g(x)}<\dfrac{2}{L}.$

При $ L<0$ неравенство (2.2) означает, что $ -\dfrac{3\vert L\vert}{2}<g(x)<-\dfrac{\vert L\vert}{2}$; так как $ -\dfrac{\vert L\vert}{2}<0$, то и $ g(x)<0$ при всех $ x\in E$ и, опять-таки, функция $ h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ определена во всех точках окончания $ E$; она удовлетворяет неравенству

$\displaystyle -\dfrac{2}{\vert L\vert}<h(x)=\dfrac{1}{g(x)}<0.$

В любом случае получаем, что функция $ h(x)$ определена во всех точках $ x\in E$ и при этих $ x$ удовлетворяет неравенству $ \vert h(x)\vert<\dfrac{2}{\vert L\vert}$, что означает локальную ограниченность функции $ h(x)$ при базе $ \mathcal{B}$.     

На основе этой леммы мы докажем обещанное выше утверждение о пределе отношения.

        Теорема 2.10   Пусть при одной и той же базе $ \mathcal{B}$ существуют пределы $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1}$ и $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2}$, причём $ {L_2\ne0}$. Тогда функция $ h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ определена на некотором окончании базы $ \mathcal{B}$, существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$, и $ L=\dfrac{L_1}{L_2}$, то есть предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя.

        Доказательство.     Представим отношение $ \dfrac{f(x)}{g(x)}$ в виде $ f(x)\cdot\dfrac{1}{g(x)}$, в котором и первый, и второй множители определены на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ (относительно второго множителя см. предыдущую лемму). Поэтому и исходное отношение имеет смысл при всех $ x\in E$.

Утверждение о том, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L_1}{L_2}$, эквивалентно тому, что разность $ {{\alpha}(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac{L_1}{L_2}}$ -- бесконечно малая величина. Приводя эту разность к общему знаменателю, получим, что $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{L_2}\cdot\dfrac{1}{g(x)}\cdot(L_2f(x)-L_1g(x))$. Величина $ \dfrac{1}{L_2}$ -- постоянная и, следовательно (см.  пример 2.11), локально ограничена; функция $ \dfrac{1}{g(x)}$ -- тоже локально ограничена при базе $ \mathcal{B}$ (по предыдущей лемме). Значит, с учётом предложения 2.1 и теоремы 2.7, будет доказано, что величина $ {\alpha}(x)$ бесконечно малая, если мы покажем, что бесконечно мала при базе $ \mathcal{B}$ величина $ L_2f(x)-L_1g(x)$. Найдём предел этой величины. По свойству линейности предела ( следствие 2.5)

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}(L_2f(x)-L_1g(x))=L_2\lim_{\mathcal{B}}f(x)-L_1\lim_{\mathcal{B}}g(x)=
L_2L_1-L_1L_2=0.$

Это означает, что величина $ L_2f(x)-L_1g(x)$ бесконечно мала.     

        Замечание 2.5   Как и в случае пределов суммы и произведения, можно сделать замечание (аналогичное замечаниям 2.2 и 2.3): если существует предел отношения, то пределы числителя и знаменателя, вообще говоря, существовать не обязаны. Приведите сами пример, иллюстрирующий это утверждение.     

        Пример 2.16   Найдём предел

$\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2+3x-5}{3x^2-x+2}.$

Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень $ x$, то есть на $ x^2$, и получим предел

$\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2+\frac{3}{x}-\frac{5}{x^2}}%
{3-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}.$

В этом пределе знаменатель стремится к 3, так как $ \frac{1}{x}\xrightarrow {x\to\infty}0$ и $ \frac{2}{x^2}=2\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\xrightarrow {x\to\infty}0$ (здесь мы применили теорему о пределе произведения для последнего слагаемого) и, следовательно, $ 3-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}\xrightarrow {x\to\infty}3-0+0=3$ (здесь мы воспользовались линейностью предела). Поскольку предел знаменателя оказался не равен 0, то можно применить теорему о пределе отношения и получить, что

$\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2+3x-5}{3x^2-x+2}=
 \dfrac{\...
...its_{x\to\pm\infty}\left(2+\frac{3}{x}-\frac{5}{x^2}\right)}
 {3}=\dfrac{2}{3}.$    

Предел числителя, равный 2, мы нашли аналогично пределу знаменателя, пользуясь линейностью предела.

Итак,

$\displaystyle \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2+3x-5}{3x^2-x+2}=\dfrac{2}{3}.$

    

Заметим, что предел отношения многочленов оказался равен отношению коэффициентов при старшей степени $ x$, то есть, в данном случае, при $ x^2$.

Аналогично решаются и другие примеры на вычисление пределов отношения двух многочленов при $ x\to\infty$, а также пределов отношения некоторых других функций, например, связанных с корнями из многочленов.

        Пример 2.17   Найдём предел

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}.$

Для этого поделим числитель и знаменатель дроби на $ x$ (под знаком корня в знаменателе для этого придётся поделить на $ x^2$):

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}=
\li...
...to+\infty}\dfrac{1+e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}}
{\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}.$

Поскольку $ \frac{1}{x^2}\xrightarrow {x\to+\infty}0$, то подкоренное выражение стремится к 4, а весь знаменатель -- к $ \sqrt{4}=2$.6 Предел знаменателя оказался отличен от 0, поэтому предел отношения равен отношению пределов. Найдём предел числителя. Поскольку $ e^{-\frac{1}{x}}<1$ при всех $ x>0$ (так как показатель степени отрицателен), то величина $ e^{-\frac{1}{x}}$ локально ограничена при базе $ x\to+\infty$ и поскольку величина $ \frac{1}{x}$ -- бесконечно малая при этой базе, то произведение $ e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}$ также бесконечно мало, то есть стремится к 0 при $ x\to+\infty$. Значит, предел числителя равен

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}\right)=1+0=1,$

а исходный предел --

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x+e^{-\frac{1}{x}}}{\sqrt{4x^2+1}}=
\li...
...rac{1+e^{-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x}}
{\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}=\dfrac{1}{2}.$

    

        Упражнение 2.5   Найдите пределы:

$\displaystyle L_1=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^3-8x+3}{x^3-2x^2};$

$\displaystyle L_2=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{-2x+3\sin 5x}{2x+\cos(x^2)};$

$\displaystyle L_3=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{3x^3+1}}{\sqrt{2x^3-1}}.$

Ответ: $ L_1=1$; $ L_2=-1$; $ L_3=\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Указания: поделите числитель и знаменатель дроби в первом примере на $ x^3$, во втором -- на $ x$ и в третьем -- на $ \sqrt{x^3}$. Во втором примере воспользуйтесь тем, что $ 3\sin 5x$ и $ \cos(x^2)$ -- величины, ограниченные при всех $ x$ (и, следовательно, локально ограниченные при любой базе).     

        Теорема 2.11 (теорема "о двух милиционерах")   Пусть даны три функции $ f_1(x)$, $ f_2(x)$ и $ {\varphi}(x)$, при всех $ x$ из некоторого окончания $ E_0$ базы $ \mathcal{B}$ связанные неравенством

$\displaystyle f_1(x)\leqslant {\varphi}(x)\leqslant f_2(x).$

Пусть функции $ f_1(x)$ и $ f_2(x)$ имеют общий предел при базе $ \mathcal{B}$:

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}f_1(x)=\lim_{\mathcal{B}}f_2(x)=L.$

Тогда функция $ {\varphi}(x)$ также имеет предел при базе $ \mathcal{B}$, равный тому же числу $ L$:

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}{\varphi}(x)=L.$

        Доказательство.     Согласно определению предела, для любого $ {\varepsilon}>0$ найдутся такие окончания базы $ E_1$ и $ E_2$, что при $ x\in E_1$ выполняется неравенство

$\displaystyle -{\varepsilon}<f_1(x)-L<{\varepsilon},$

а при $ x\in E_2$ -- неравенство

$\displaystyle -{\varepsilon}<f_2(x)-L<{\varepsilon}.$

Значит, для окончания $ E\sbs E_0\cap E_1\cap E_2$ при всех $ x\in E$ выполняются неравенства

$\displaystyle -{\varepsilon}<f_1(x)-L\leqslant {\varphi}(x)-L\leqslant f_2(x)-L<{\varepsilon},$

то есть

$\displaystyle -{\varepsilon}<{\varphi}(x)-L<{\varepsilon}.$

Это означает, что предел величины $ {\varphi}(x)$ равен $ L$.     

Рис.2.21.Два милиционера $ f_1$ и $ f_2$ и пьяный $ {\varphi}$ движутся в участок $ L$


(Происхождение названия теоремы таково: пусть график функции $ y=f_1(x)$ -- это траектория движения первого милиционера в участок, график $ y=f_2(x)$ -- второго милиционера туда же, а график $ y={\varphi}(x)$ -- траектория движения нетрезвого гражданина, находящегося, в соответствии с неравенством

$\displaystyle f_1(x)\leqslant {\varphi}(x)\leqslant f_2(x),$

в любой момент $ x$ между двумя милиционерами. Тогда и этот гражданин неизбежно придёт туда же, в участок $ L$.)

        Теорема 2.12 (теорема о пределе неотрицательной величины)   Пусть $ f(x)\geqslant 0$ при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и существует $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$. Тогда $ L\geqslant 0$. Иными словами, при переходе к пределу знак нестрогого неравенства сохраняется.

        Доказательство.     Если бы предел $ L$ был отрицательным, то можно было бы взять $ {\varepsilon}=-\frac{L}{2}>0$ и найти такое окончание базы $ E_1$, что при $ x\in E_1$ выполняется неравенство $ -{\varepsilon}=\frac{L}{2}<f(x)-L<{\varepsilon}=-\frac{L}{2}$, откуда $ \frac{3L}{2}<f(x)<\frac{L}{2}<0$. Это же будет выполнено на некотором окончании $ E_2\sbs E\cap E_1$, что противоречит предположению, что $ f(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in E$. Противоречие доказывает, что отрицательным предел $ L$ быть не может, то есть $ L\geqslant 0$.     

        Следствие 2.6   Пусть $ f(x)\leqslant 0$ при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и существует $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$. Тогда $ L\leqslant 0$.

        Доказательство.     Для доказательства достаточно взять функцию $ f_1(x)=-f(x)\geqslant 0$, применить к ней доказанную только что теорему и воспользоваться тем, что знак минус можно вынести за знак предела (по свойству линейности предела).     

        Следствие 2.7 (переход к пределу в нестрогом неравенстве)   Пусть при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$ выполняется неравенство $ {f_1(x)\leqslant f_2(x)}$. Предположим, что существуют пределы $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f_1(x)=L_1$ и $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f_2(x)=L_2$. Тогда $ L_1\leqslant L_2$ (то есть значения пределов связаны тем же нестрогим неравенством, что и функции). То же верно для нестрогого неравенства $ \geqslant $.

        Доказательство.     Рассмотрим функцию $ g(x)=f_2(x)-f_1(x)$. По условию теоремы, $ g(x)\geqslant 0$, причём

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=
\lim\limits_{\mathcal{B}}f_1(x)-\lim\limits_{\mathcal{B}}f_2(x)=L_2-L_1.$

Применим к функции $ g(x)$ теорему о пределе неотрицательной величины и получим, что $ L_2-L_1\geqslant 0$, то есть $ L_2\geqslant L_1$, что и требовалось доказать. Для другого нестрогого неравенства доказательство аналогично.     

        Замечание 2.6   Аналогичные утверждения для строгих неравенств ($ >$ и $ <$) неверны. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть предел $ \lim\limits_{x\to0+}x$. Очевидно, он равен 0, хотя при любом $ x$ из любого окончания $ (0;{\delta})$ базы $ x\to0+$ величина $ f(x)=x$ строго положительна.    

Рис.2.22.Предел строго положительной величины может оказаться равным 0


Напомним, что функция $ f(x)$ называется не убывающей на множестве $ {A\sbs\mathbb{R}}$, если для любых $ {x_1,x_2\in A}$, таких что $ {x_1<x_2}$, выполняется неравенство $ {f(x_1)\leqslant f(x_2)}$, и не возрастающей на $ A$, если при $ {x_1,x_2\in A}$ и $ {x_1<x_2}$ выполняется неравенство $ {f(x_1)\geqslant f(x_2)}$.

        Теорема 2.13 (о пределе монотонной функции)   Пусть рассматривается одна из баз $ n\to\infty$, $ x\to+\infty$, $ x\to x_0-$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не убывает на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная $ C$, что $ f(x)\leqslant C$ при всех $ x\in E$. Тогда существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, причём $ L\leqslant C$.

Рис.2.23.Предел неубывающей ограниченной сверху функции


Доказательство этой теоремы достаточно сложно; оно основывается на довольно тонких свойствах системы вещественных чисел, а именно, на том, что у ограниченного снизу множества чисел $ \{C\}$, где числа $ C$ ограничивают функцию $ f(x)$ сверху, существует точная нижняя грань $ L=\inf\{C\}$; она-то и будет пределом неубывающей функции.

Мы ограничимся здесь этим замечанием и поясняющим рисунком, а за подробным доказательством отошлём читателя к полному курсу математического анализа, например, книгам: Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1 или С. М. Никольский, Курс математического анализа, т. 1.    

Имеют место также утверждения, получающиеся из теоремы о пределе монотонной функции сменой знака функции или заменой координаты $ t=-x$:

        Следствие 2.8   Пусть рассматривается одна из баз $ {n\to\infty}$, $ {x\to+\infty}$, $ {x\to x_0-}$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не возрастает на некотором окончании $ E$ базы  $ \mathcal{B}$ и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная $ C$, что $ {f(x)\geqslant C}$ при всех $ {x\in E}$. Тогда существует предел $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$, причём  $ {L\geqslant C}$.    

Рис.2.24.Предел невозрастающей ограниченной снизу функции


        Следствие 2.9   Пусть рассматривается одна из баз $ x\to-\infty$, $ x\to x_0+$, которую обозначим $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не убывает на некотором окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная $ C$, что $ f(x)\geqslant C$ при всех $ x\in E$. Тогда существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, причём $ L\geqslant C$.    

Рис.2.25.Предел неубывающей ограниченной снизу функции


        Следствие 2.10   Пусть рассматривается одна из баз $ {x\to-\infty}$, $ {x\to x_0+}$, которую обозначим  $ \mathcal{B}$. Пусть функция $ f(x)$ не возрастает на некотором окончании $ E$ базы  $ \mathcal{B}$ и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная $ C$, что $ {f(x)\leqslant C}$ при всех $ {x\in E}$. Тогда существует предел $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$, причём $ {L\leqslant C}$.    

Рис.2.26.Предел невозрастающей ограниченной сверху функции