‹-- Назад

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

В этом разделе мы изучим свойства бесконечно малых величин, то есть величин, стремящихся к 0. В следующих разделах на этой основе мы будем изучать свойства величин, имеющих произвольное значение предела.

        Определение 2.9   Функция $ {\alpha}(x)$ называется бесконечно малой величиной при базе $ \mathcal{B}$, если её предел при данной базе равен 0, то есть $ {\alpha}\xrightarrow {\mathcal{B}}0$.    

Заметим, что в этом определении фигурирует фиксированная база $ \mathcal{B}$; в зависимости от того, какая именно база взята, одна и та же функция может как быть бесконечно малой, так и не быть ею.

        Пример 2.8   Рассмотрим функцию $ f(x)=2x-1$. При базе $ x\to\frac{1}{2}$ эта функция является бесконечно малой, а при базе $ x\to0$ -- не является.

Рис.2.16.График функции $ y=2x-1$


Проверим это. Покажем, что $ {\lim\limits_{x\to\frac{1}{2}}(2x-1)=0}$. Возьмём произвольное $ {{\varepsilon}>0}$ и решим неравенство $ {\vert(2x-1)-0\vert<{\varepsilon}}$. Оно эквивалентно неравенству $ {-{\varepsilon}<2x-1<{\varepsilon}}$. Получаем $ {\dfrac{1-{\varepsilon}}{2}<x<\dfrac{1+{\varepsilon}}{2}}$; это означает, что при $ {x\in(\frac{1}{2}-{\delta};\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2};\frac{1}{2}+{\delta})}$, где $ {{\delta}=\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$, неравенство $ {\vert(2x-1)-0\vert<{\varepsilon}}$ выполняется, то есть $ {2x-1\xrightarrow {x\to\frac{1}{2}}0}$. Мы показали, что $ {2x-1}$ -- бесконечно малая при $ {x\to\frac{1}{2}}$.

Теперь покажем, что $ \lim\limits_{x\to0}(2x-1)=-1$, то есть что эта величина не является бесконечно малой при $ x\to0$. Возьмём $ {\varepsilon}>0$ и найдём окрестность точки 0, в которой выполняется неравенство $ \vert(2x-1)-(-1)\vert<{\varepsilon}$. Это неравенство, очевидно, эквивалентно неравенству $ \vert x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}$, то есть при $ {\delta}=\dfrac{{\varepsilon}}{2}$ попадание $ x$ в $ {\delta}$-окрестность точки 0 гарантирует выполнение неравенства $ \vert(2x-1)-(-1)\vert<{\varepsilon}$. Это означает, что $ (2x-1)\xrightarrow {x\to0}-1$.     

        Пример 2.9   Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}$ -- бесконечно малая при $ x\to+\infty$, $ x\to-\infty$ и при $ x\to\pm\infty$. Для того, чтобы это доказать, достаточно для любого $ {\varepsilon}>0$ указать окончание $ \vert x\vert>a$ базы $ x\to\pm\infty$, на котором выполняется неравенство $ \left\vert\dfrac{1}{x}\right\vert<{\varepsilon}$. При $ \vert x\vert>a=\dfrac{1}{{\varepsilon}}$, очевидно, неравенство выполняется. Это означает, что $ \dfrac{1}{x}\xrightarrow {x\to\pm\infty}0$.     

Докажем теперь теорему, связывающую бесконечно малые с величинами, имеющими произвольное значение предела.

        Теорема 2.4   Функция $ f(x)$ имеет при базе $ \mathcal{B}$ предел, равный $ L$, тогда и только тогда, когда величина $ {\alpha}(x)=f(x)-L$ является бесконечно малой при базе $ \mathcal{B}$:

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}f(x)=L\quad\Longleftrightarrow \quad{\alpha}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0.$

        Доказательство.     Согласно определению предела, равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$ означает, что для любого $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое окончание $ E\in\mathcal{B}$, что

$\displaystyle \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ при всех $\displaystyle x\in E.$ (2.1)

Условие $ {\alpha}(x)=f(x)-L\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ означает, что для любого $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое окончание $ E\in\mathcal{B}$, что

$\displaystyle \vert(f(x)-L)-0\vert<{\varepsilon}$ при всех $\displaystyle x\in E.$    

Но это, очевидно, то же, что формула (2.1).     

Теперь обратимся к свойствам, касающимся собственно бесконечно малых.

        Теорема 2.5   Пусть $ {\alpha}(x)$ и $ {\beta}(x)$ -- бесконечно малые при одной и той же базе $ \mathcal{B}$. Тогда и их сумма $ {\gamma}(x)={\alpha}(x)+{\beta}(x)$ -- тоже бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.

        Доказательство.    Пусть фиксировано некоторое число $ {\varepsilon}>0$. Рассмотрим положительное число $ \dfrac{{\varepsilon}}{2}$. Условие $ {\alpha}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ означает, что найдётся такое окончание $ E_1\in\mathcal{B}$, на котором $ \vert{\alpha}(x)\vert$ меньше этого положительного числа: $ \vert{\alpha}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}$ при всех $ x\in E_1$.

Точно так же, условие $ {\beta}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ означает, что найдётся такое окончание $ E_2\in\mathcal{B}$, на котором $ \vert{\beta}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}$ при всех $ x\in E_2$. По определению базы, она содержит некоторое окончание $ E_3\sbs E_1\cap E_2$. Так как $ E_3$ -- часть как $ E_1$, так и $ E_2$, то оба неравенства выполняются при $ x\in E_3$. Тогда при $ x\in E_3$ будет

$\displaystyle \vert{\gamma}(x)\vert=\vert{\alpha}(x)+{\beta}(x)\vert\leqslant 
...
...\beta}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}+\dfrac{{\varepsilon}}{2}={\varepsilon}.$

Итак, при произвольно заданном $ {\varepsilon}>0$ мы предъявили такое окончание $ E_3\in\mathcal{B}$, на котором выполняется неравенство $ \vert{\gamma}(x)\vert<{\varepsilon}$. Это означает, что $ {\gamma}\xrightarrow {\mathcal{B}}0$, то есть что $ {\gamma}(x)$ -- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.     

        Пример 2.10   При базе $ x\to+\infty$ рассмотрим две бесконечно малых величины: $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и $ {\beta}(x)=\dfrac{1}{x^2}$. Вместе с ними и величина $ {\gamma}(x)=\dfrac{1+x}{x^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$ тоже является бесконечно малой при базе $ x\to+\infty$.    

Докажем теперь, как следствие из предыдущей теоремы, утверждение о том, что бесконечно малой является сумма не только двух, но любого числа бесконечно малых величин.

        Следствие 2.1   Пусть $ {\alpha}_1(x),{\alpha}_2(x),\dots,{\alpha}_n(x)$ -- бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$, $ {n\geqslant 2}$. Тогда величина

$\displaystyle {\beta}_n(x)={\alpha}_1(x)+{\alpha}_2(x)+\ldots+{\alpha}_n(x)$

также является бесконечно малой при базе $ \mathcal{B}$.

        Доказательство.     Доказывать утверждение теоремы мы будем по индукции5 по числу слагаемых. Для двух слагаемых это утверждение верно по теореме 2.5. Пусть утверждение верно для $ n-1$ слагаемых; это означает, что величина $ {\beta}_{n-1}(x)={\alpha}_1(x)+\ldots+{\alpha}_{n-1}(x)$ бесконечно мала. Покажем, что тогда оно верно и для $ n$ слагаемых. По условию бесконечно мала также величина $ {\alpha}_n(x)$ и, значит, по теореме 2.5 бесконечно мала сумма этих двух бесконечно малых $ {{\beta}_{n-1}(x)+{\alpha}_n(x)={\alpha}_1(x)+\ldots+{\alpha}_{n-1}+{\alpha}_n(x)={\beta}_n(x)}$. Тем самым шаг индукции сделан и утверждение доказано для произвольного числа слагаемых $ n$.     

В дальнейшем нам часто будет нужно рассматривать функции, которые не превосходят некоторой постоянной на некотором окончании данной базы. Дадим им следующее название.

        Определение 2.10   Функция $ f(x)$ называется локально ограниченной при базе $ \mathcal{B}$, если она определена на некотором окончании $ E_0$ этой базы и существует такая постоянная $ K$, что $ \vert f(x)\vert\leqslant K$ при всех $ x\in E_0$.    

Рис.2.17.Локально ограниченная величина при базе $ x\to x_0$


        Пример 2.11   Любая постоянная величина $ C$ локально ограничена при любой базе. Действительно, в качестве ограничивающей постоянной $ K$ достаточно взять $ K=\vert C\vert$; тогда условие $ \vert C\vert=K\leqslant K$ верно для $ x$ из любого окончания $ E$ любой базы  $ \mathcal{B}$.     

Докажем следующее утверждение, имеющее вспомогательный характер для дальнейшего.

        Предложение 2.1   Пусть при данной базе $ \mathcal{B}$ две функции $ f(x)$ и $ g(x)$ являются локально ограниченными. Тогда и их произведение тоже локально ограничено при этой базе.

        Доказательство.     Из условия следует, что $ \vert f(x)\vert\leqslant K_1$ при $ x\in E_1$ и $ \vert g(x)\vert\leqslant K_2$ при $ x\in E_2$, где $ K_1,K_2$ -- некоторые постоянные и $ E_1,E_2$ -- некоторые окончания базы $ \mathcal{B}$. Возьмём окончание $ E_3\sbs E_1\cap E_2$; при $ x\in E_3$ будут выполнены оба неравенства и, следовательно,

$\displaystyle \vert f(x)g(x)\vert=\vert f(x)\vert\,\vert g(x)\vert\leqslant K_1K_2.$

Это означает, что постоянная $ K=K_1K_2$ служит ограничивающей постоянной для произведения $ f(x)g(x)$ на окончании $ E_3$, то есть это произведение локально ограничено при базе $ \mathcal{B}$.     

Локальная ограниченность функции не означает, что она ограничена на всей своей области определения. Например, функция $ f(x)=x$ локально ограничена при базе $ x\to0$, но не является ограниченной функцией при всех $ x\in\mathbb{R}$. Если в качестве базы рассматривается $ x\to x_0$, то локальная ограниченность функции при этой базе означает, что функция ограничена в некоторой, быть может, достаточно малой, окрестности точки $ x_0$.

        Теорема 2.6   Пусть функция $ f(x)$ имеет предел при базе $ \mathcal{B}$. Тогда эта функция локально ограничена при этой базе.

        Доказательство.     Пусть $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$; это означает, что при любом $ {\varepsilon}>0$ (возьмём, например, $ {\varepsilon}=1$) найдётся такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$, что $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ для любого $ x\in E$. Тем самым, при $ {\varepsilon}=1$ выполнено двойное неравенство $ -1+L<f(x)<1+L$.

Выберем из двух чисел $ -1+L$ и $ 1+L$ число с большей абсолютной величиной и обозначим его $ K$: $ K=\max\{\vert-1+L\vert,\vert 1+L\vert\}$. Тогда, очевидно, из последнего неравенства следует, что $ \vert f(x)\vert<K$; это означает, что функция $ f(x)$ локально ограничена.     

В частности, локально ограничены при базе $ \mathcal{B}$ все бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$, так как все они, по определению, имеют предел (равный 0).

        Пример 2.12   Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и базу $ x\to+\infty$. Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную $ K=1$ и окончание базы $ E=(0;+\infty)$, тогда $ \vert f(x)\vert=\vert\sin x\vert\leqslant K=1$ при всех $ x\in E=(0;+\infty)$. Однако $ \sin x$ не имеет предела при $ x\to+\infty$: какое бы окончание $ (a;+\infty)$ ни взять, при $ x\in(a;+\infty)$ значения $ \sin x$ многократно изменяются от $ -1$ до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\sin x$ не существует: докажите, что при $ {\varepsilon}<1$ нельзя указать окончания базы $ E_{{\varepsilon}}=(a_{{\varepsilon}};+\infty)$, при всех $ x$ из которого при некотором $ L$ выполнялось бы неравенство $ \vert\sin x-L\vert<{\varepsilon}$. Такое окончание $ E_{{\varepsilon}}$ должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал.)

Поскольку предела $ \sin x$ при $ x\to+\infty$ не существует, то если сделать замену $ t=\dfrac{1}{x}$, получится, что предел $ \lim\limits_{t\to0+}\sin\frac{1}{t}$ также не существует. График функции $ \sin\frac{1}{x}$ представлен на следующем рисунке.

Рис.2.18.График $ y=\sin\frac{1}{x}$


График совершает бесконечно много колебаний при подходе $ x$ к 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от $ -1$ до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, значения, равные $ -1$, -- в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, а значения, равные 0, -- в точках вида $ \dfrac{1}{k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$.     

Докажем теперь теорему о взаимосвязи локально ограниченных и бесконечно малых величин.

        Теорема 2.7   Пусть $ \mathcal{B}$ -- база, функция $ f(x)$ локально ограничена, а функция $ {\alpha}(x)$ бесконечно мала при этой базе. Тогда их произведение $ {\beta}(x)=f(x){\alpha}(x)$ -- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.

        Доказательство.     Так как $ f(x)$ локально ограничена при базе $ \mathcal{B}$, то $ \vert f(x)\vert\leqslant K$ при некотором $ K>0$ и всех $ x$ из некоторого окончания $ E_0$ базы $ \mathcal{B}$. Фиксируем произвольное число $ {\varepsilon}>0$ и рассмотрим положительное число $ {\varepsilon}_1=\dfrac{{\varepsilon}}{K}$. Так как $ {\alpha}(x)$ -- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$, то найдётся такое окончание $ E_1\in\mathcal{B}$, что при всех $ x\in E_1$ выполняется неравенство $ \vert{\alpha}(x)\vert<{\varepsilon}_1=\dfrac{{\varepsilon}}{K}$. Рассмотрим теперь некоторое окончание $ E_2\sbs E_0\cap E_1$. (Такое окончание существует по определению базы.) Так как $ E_2$ -- часть как $ E_0$, так и $ E_1$, то при $ x\in E_2$ выполняются одновременно неравенства $ \vert f(x)\vert\leqslant K$ и $ \vert{\alpha}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{K}$, из которых следует, что $ \vert f(x){\alpha}(x)\vert=\vert f(x)\vert\cdot\vert{\alpha}(x)\vert<K\dfrac{{\varepsilon}}{K}={\varepsilon}$ при всех $ x\in E_2$. Так как число $ {\varepsilon}>0$ было выбрано произвольно, это означает, что функция $ {\beta}(x)=f(x){\alpha}(x)$ является бесконечно малой при базе $ \mathcal{B}$.     

        Пример 2.13   Пусть $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и $ f(x)=\sin x$. Так как $ {\alpha}(x)$ бесконечно мала, а $ f(x)$ локально ограничена при базе $ x\to\pm\infty$, то их произведение $ \dfrac{1}{x}\cdot\sin x=\dfrac{\sin x}{x}$ -- бесконечно малая при $ x\to\pm\infty$, а также при $ x\to+\infty$ и при $ x\to-\infty$ (см.  упражнение 2.4).    

Рис.2.19.График $ y=\dfrac{\sin x}{x}$


        Пример 2.14   В предыдущем примере сделаем замену $ t=\frac{1}{x}$. Тогда, очевидно, функция $ \dfrac{\sin x}{x}$ перейдёт в функцию $ t\sin\frac{1}{t}$, а базы $ x\to\pm\infty$, $ x\to+\infty$ и $ x\to-\infty$, соответственно, в базы $ t\to0$, $ t\to0+$ и $ t\to0-$. Значение предела $ \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$ при замене не изменится, так что $ \lim\limits_{t\to0}t\sin\frac{1}{t}=0.$    

Рис.2.20.График функции $ t\sin\dfrac{1}{t}$


        Следствие 2.2   Пусть $ C$ -- постоянная и $ {\alpha}(x)$ -- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$. Тогда $ C{\alpha}(x)$ -- тоже бесконечно малая при базе  $ \mathcal{B}$.

        Доказательство.     Достаточно заметить, что $ C$ локально ограничена при базе $ \mathcal{B}$ и сослаться на предыдущую теорему.     

        Следствие 2.3   Пусть $ {\alpha}_1(x),{\alpha}_2(x),\dots,{\alpha}_n(x)$ -- бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$ и $ C_1,C_2,\dots,C_n$ -- произвольные постоянные. Тогда величина вида

$\displaystyle {\beta}(x)=C_1{\alpha}_1(x)+C_2{\alpha}_2(x)+\ldots+C_n{\alpha}_n(x)$

является бесконечно малой при базе $ \mathcal{B}$.

        Доказательство.     Чтобы доказать это следствие, достаточно заметить, что все слагаемые являются бесконечно малыми, согласно предыдущему следствию, а затем применить утверждение следствия 2.1.     

        Замечание 2.1   Утверждение доказанного следствия, с алгебраической точки зрения, означает, что множество $ \mathcal{L}^0_{\mathcal{B}}$ всех функций, определённых на некотором фиксированном окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и бесконечно малых при этой базе $ \mathcal{B}$, имеет структуру линейного пространства: любые элементы этого пространства можно умножать на постоянные и складывать, не выходя за рамки этого пространства.