‹-- Назад

Общее определение предела

Заметим, что во всех определениях предыдущего пункта ключевым оказывалось определение набора тех множеств, в которые последовательно, при своём изменении в соответствии с рассматриваемым условием, попадает переменное ($ x$ или $ n$), от которого зависит изменяющаяся величина ($ f(x)$ или $ y_n$). В случае условия $ x\rightarrow x_0$ эти множества имеют вид $ (x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})$; в случае $ x\rightarrow +\infty$ -- вид $ (a;+\infty)$; в случае $ n\rightarrow \infty$ -- вид $ \{n\in\mathbb{N}:n>N\}=\{N+1,N+2,\dots\}$. Назовём их окончаниями базы предела при данном условии, а полный набор таких окончаний -- базой предела. Базу предела будем обозначать так же, как само условие, а именно, $ x\to x_0$, $ x\to+/infty$, $ n\to\infty$ и т. п. Таким образом,

$\displaystyle \{x\rightarrow x_0\}=\{(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta}),\ {\delta}>0\},$

$\displaystyle \{n\rightarrow \infty\}=\{\{n\in\mathbb{N}:n>N\},\ N\in\mathbb{N}\},$

$\displaystyle \{x\rightarrow +\infty\}=\{(a;+\infty),\ a\in\mathbb{R}\}.$

Итак, база предела -- это набор окончаний, которые должны удовлетворять таким свойствам: все они непусты и если $ E_1$ и $ E_2$ -- два разных окончания (одной и той же базы), то база должна содержать третье окончание $ E_3$, которое содержится в каждом из первых двух: $ E_3\sbs E_1\cap E_2$.

Нетрудно видеть, что в рассмотренных выше трёх примерах баз, действительно, все окончания -- непустые множества и пересечение двух окончаний совпадает с одним из них (с меньшим) и, тем самым, $ E_3$ можно взять равным этому меньшему окончанию. Получили, что рассмотренные наборы множеств действительно являются базами.

Произвольную базу будем обозначать $ \mathcal{B}$, а её окончания -- буквой $ E$, быть может, снабжённой индексами. Если $ {E_1,E_2\in\mathcal{B}}$, причём $ {E_2\sbs E_1}$, то окончание $ E_2$ будем называть более далёким, чем окончание $ E_1$. Например, для базы $ {x\rightarrow +\infty}$ окончание $ {\{x>b\}}$ более далёкое, чем $ {\{x>a\}}$, если $ {b>a}$; для базы $ {x\rightarrow x_0}$ окончание $ {E_{{\delta}}=(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})}$ является тем более далёким, чем меньше число $ {{\delta}>0}$.

Теперь дадим определение предела по заданной базе $ \mathcal{B}$.

        Определение 2.4   Пусть $ \mathcal{B}$ -- некоторая база и функция $ f(x)$ определена во всех точках $ x$ некоторого окончания $ E_0$ базы $ \mathcal{B}$ (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний $ E\sbs E_0$). Число $ L$ называется пределом функции $ f(x)$ по базе $ \mathcal{B}$ (или при базе $ \mathcal{B}$) и обозначается

$\displaystyle L=\lim_{\mathcal{B}}f(x),$

если

для любого (сколь угодно малого) числа $ {\varepsilon}>0$ найдётся такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$, что при всех $ x\in E$ выполняется неравенство

$\displaystyle \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}.$

Тот факт, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, записывают ещё в виде

$\displaystyle f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}L.$

    

Нетрудно заметить, что в случае баз $ x\rightarrow x_0$, $ n\rightarrow \infty$ и $ x\rightarrow +\infty$ это общее определение предела, при соответствующей подстановке вида окончаний этих баз, означает ровно то же самое, что приведённые выше, в предыдущем разделе, частные определения пределов.

Геометрический смысл данного определения предела таков: на плоскости $ xOy$, на которой нарисован график функции $ y=f(x)$, проведём горизонтальную полосу ширины $ 2{\varepsilon}$ вокруг горизонтальной прямой $ y=L$. Тот факт, что $ f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}L$, означает, что найдётся достаточно далёкое окончание базы $ \mathcal{B}$, на котором график функции целиком лежит в этой полосе. При уменьшении ширины полосы окончание, возможно, придётся брать более далёким, но, всё равно, и в любую более узкую полосу умещается график на достаточно далёком окончании.

Рис.2.8.График функции, имеющей предел, умещается в любую узкую полосу на достаточно далёком окончании


        Пример 2.4   Постоянная величина, то есть функция, значения которой $ C(x)=C$ не зависят от аргумента $ x$, имеет предел, равный этой постоянной, при любой (допустимой для данного множества аргументов $ x$) базе $ \mathcal{B}$.

Действительно, пусть $ C(x)=C$ при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$. Тогда при любом, сколь угодно малом $ {\varepsilon}>0$ и любом $ x\in E$

$\displaystyle \vert C(x)-C\vert=0<{\varepsilon}.$

Это и означает, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}C=C$.

(Неудивительно: ведь график постоянной -- это горизонтальная прямая линия; тем самым, этот график целиком умещается в горизонтальную полосу любой, сколь угодно малой ширины.)     

Выгода от введения общего определения предела по базе заключается в том, что теперь, чтобы дать определение предела при некотором новом условии, нам достаточно лишь указать ту базу (набор окончаний), которая этому условию соответствует. Кроме того, весьма многие свойства пределов окажутся общими для пределов по любой базе, и устанавливать эти свойства можно будет исходя из общего определения; было бы слишком расточительно доказывать каждое из общих свойств для каждой новой базы отдельно.

Приведём несколько примеров широко используемых в математическом анализе баз.

        Определение 2.5   Правосторонний предел функции. Рассмотрим базу $ \mathcal{B}_{x_0+}$, окончаниями которой служат интервалы, примыкающие справа к точке $ x_0$, то есть интервалы вида $ E_{{\delta}}=(x_0;x_0+{\delta})$, где $ {\delta}>0$. Легко видеть, что все такие интервалы действительно образуют базу. Предел функции $ f(x)$ по этой базе называется пределом функции $ f(x)$ при $ x$, стремящемся к $ x_0$ справа. База $ \mathcal{B}_{x_0+}$ обозначается также $ x\to x_0+$ или $ x\to x_0+0$, а предел по этой базе обозначается так: $ \lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$.

Рис.2.9.Предел справа


Оказываясь во все более далёких окончаниях базы, то есть в интервалах $ (x_0;x_0+{\delta})$ с уменьшающимися значениями $ {\delta}$, точка $ x\in E_{{\delta}}$ приближается к точке $ x_0$, оставаясь справа от неё. Это объясняет название предела, вычисляемого по данной базе.     

        Упражнение 2.2   Запишите с помощью неравенств, содержащих $ {\varepsilon}$ и $ {\delta}$, данное выше определение в развёрнутом виде.    

Аналогично определяется предел функции при $ x$, стремящемся к $ x_0$ слева. Для этого достаточно указать, какие множества являются окончаниями базы этого предела.

        Определение 2.6   Левосторонний предел. База $ \mathcal{B}_{x_0-}=\{x\to x_0-\}$ состоит из интервалов $ (x_0-{\delta};x_0)$, $ {\delta}>0$, примыкающих к точке $ x_0$ слева.

Рис.2.10.Предел слева


База $ {x\to x_0-}$ обозначается также $ {x\to x_0-0}$. Предел по этой базе называется пределом функции $ f(x)$ при $ x$, стремящемся к $ x_0$ слева и обозначается так: $ {\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)}$.    

Левосторонний и правосторонний пределы функции называются односторонними пределами этой функции при $ x\to x_0$. Чтобы подчеркнуть отличие от односторонних пределов, предел $ {\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}$ называют двусторонним пределом.

        Теорема 2.1   Если функция $ f(x)$ имеет оба односторонних предела при $ x\to x_0$ и эти пределы равны одному и тому же числу $ L$, то существует двусторонний предел $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)$, который также равен $ L$; ноаборот, если существует двусторонний предел $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$, то существуют оба односторонних предела и оба они равны числу $ L$.


Рис.2.11.Пределы справа и слева совпадают с двусторонним пределом


        Доказательство.     Пусть фиксировано некоторое число $ {\varepsilon}>0$. Так как $ \lim\limits_{x\to x_0+}f(x)=L$, то существует такое окончание $ (x_0;x_0+{\delta}_1)$ базы $ \mathcal{B}_{x_0+}$, при $ x$ из которого выполняется неравенство $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$. Так как $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=L$, то существует такое окончание $ (x_0-{\delta}_2;x_0)$ базы $ \mathcal{B}_{x_0-}$, при $ x$ из которого также выполняется неравенство $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$. Рассмотрим теперь меньшее из чисел $ {\delta}_1$ и $ {\delta}_2$ и обозначим его $ {\delta}$. Тогда при $ x\in(x_0-{\delta};x_0)$ и при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$, то есть на объединении этих двух интервалов $ (x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})$, выполняется неравенство $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$. Однако такое объединение интервалов -- это окончание базы $ x\to x_0$. Тем самым при любом $ {\varepsilon}>0$ мы предъявили окончание базы двустороннего предела, такое что при всех $ x$ из этого окончания верно неравенство $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$. По определению это и означает, что $ f(x)\xrightarrow {x\to x_0}L$.

Обратно, если существует $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)$, то при всех $ x$ из некоторого двустороннего окончания $ (x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})$ базы $ x\to x_0$ и, следовательно, из каждой из двух половинок $ (x_0-{\delta};x_0)$ (окончания базы $ x\to x_0-$) и $ (x_0;x_0+{\delta})$ (окончания базы $ x\to x_0+$) выполнено неравенство $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$. Это и означает, что $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=L$ и $ \lim\limits_{x\to x_0+}f(x)=L$.     

        Определение 2.7   Через $ x\to\pm\infty$ (или $ x\to\infty$) обозначим базу, окончаниями которой служат объединения двух лучей $ (-\infty;-a)\cup(a;+\infty)$, где $ a\in\mathbb{R}$. При увеличении $ a$ получаем всё более далёкие окончания, уходящие в бесконечность в обе стороны. Предел по такой базе обозначается $ \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)$ или $ \lim\limits_{x\to\infty}f(x)$.     

Введённый этим определением двусторонний (при $ x\to\pm\infty$) предел уже не имеет такого "наглядного смысла", как, например, пределы при $ x\to x_0+$, $ x\to x_0-$. Действительно, как представить себе, что переменная $ x$ "уходит бесконечно далеко" сразу и направо, в $ +\infty$, и налево, в $ -\infty$? Тем не менее, понятие базы позволяет вычислять такой предел с не большими усилиями, чем пределы при условиях, имеющих "наглядное представление".

        Упражнение 2.3   Покажите, пользуясь последним определением, что предел функции, рассмотренной в примере 2.3, при $ x\to\pm\infty$ равен 3. Найдите окончание базы $ x\to\pm\infty$, на котором при данном $ {\varepsilon}$ выполняется неравенство $ \vert f(x)-3\vert<{\varepsilon}$.    

        Упражнение 2.4   Сформулируйте и докажите теорему о связи односторонних (при $ x\to+\infty$ и $ x\to-\infty$) и двустороннего (при $ x\to\pm\infty$) пределов, аналогичную теореме 2.1.    

В дальнейшем при изучении высшей математики нам понадобятся и гораздо более экзотические базы пределов, в которых представить себе, что именно и к чему стремится, совсем нелегко. Например, при введении определённых интегралов они будут получаться как пределы некоторых величин (интегральных сумм), зависящих от сложного параметра, называемого размеченным разбиением, при некоторой базе, называемой измельчением размеченного разбиения. Тем не менее, и случай таких сложных пределов будет отлично укладываться в общую схему предела по базе, и нам не понадобится доказывать каких-то дополнительных теорем о свойствах таких пределов.

Для того, чтобы нагляднее представлять себе обсуждаемые общие результаты, читатель должен выбрать какую-либо конкретную базу (рекомендуем $ x\to x_0$ или какой-либо из односторонних пределов) и наглядно представлять себе, что означает общий результат применительно к выбранной конкретной базе.