‹-- Назад

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

        Определение 2.1   Предел функции при $ x\rightarrow x_0$.

Пусть $ y=f(x)$ -- это функция вещественного переменного $ x$, определённая во всех точках интервала $ (a;b)$, кроме, быть может, точки $ x_0\in(a;b)$. Дадим определение предела величины $ y$ при условии, что $ x$ стремится к точке $ x_0$. Это условие кратко обозначается $ x\rightarrow x_0$. Стремление $ x$ к $ x_0$ означает, что при своём изменении $ x$ оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку $ x_0$, но не совпадает с $ x_0$, то есть значение $ \vert x-x_0\vert$ становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие $ x$ значения $ y=f(x)$ становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу $ y_0$, причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа $ y_0$ можно указать, насколько близко $ x$ должен подойти к $ x_0$, чтобы значения $ y=f(x)$ уже попадали в эту окрестность числа $ y_0$. Тогда число $ y_0$ есть предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow x_0$, что записывается так:

$\displaystyle y_0=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x).$

Рис.2.1.Предел при $ x\to x_0$


Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки $ y_0$ (симметричная относительно $ y_0$) характеризуется её полушириной $ {\varepsilon}>0$, то есть имеет вид интервала $ (y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})$. Если значение $ y$ попало в такую $ {\varepsilon}$-окрестность, то это означает, что $ \vert y-y_0\vert<{\varepsilon}$. Любая окрестность точки $ x_0$, не содержащая самой точки $ x_0$ (и симметричная относительно $ x_0$), -- это объединение двух смежных интервалов3 $ {(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})\diagdown \{x_0\}}$. Попадание точки $ x$ в эту окрестность означает, что выполнено неравенство $ \vert x-x_0\vert<{\delta}$ и $ x\ne x_0$. Равенство $ y_0=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое число $ {\delta}>0$ (зависящее от $ {\varepsilon}$), что при $ \vert x-x_0\vert<{\delta},\ x\ne x_0$ будет $ \vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}$.

При этом число $ y_0$ называется пределом функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow x_0$. Тот факт, что $ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=y_0$, записывают ещё в виде

$\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to x_0}y_0.$

    

        Пример 2.1   Пусть $ x_0=0$ и рассматривается функция $ f(x)=2\sin x+1$. Покажем, что

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.$

Для этого фиксируем произвольное число $ {\varepsilon}>0$, задающее окрестность $ (1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})$, и выясним, при каких $ x$ значения функции $ f(x)$ будут попадать в эту окрестность точки 1.

Рис.2.2.График $ y=2\sin x+1$


Попадание значений $ f(x)$ в окрестность $ (1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})$ означает, что выполняется неравенство $ {\vert(2\sin x+1)-1\vert<{\varepsilon}}$, то есть $ {\vert\sin x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$. При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки $ {x_0=0}$. Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при $ {\vert x\vert<\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$. Таким образом, если взять $ {{\delta}=\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$ (это число больше 0), то при $ {x\in(-{\delta};0)\cup(0;{\delta})}$ будет выполнено неравенство $ {\vert f(x)-1\vert<{\varepsilon}}$, что и означает, что предел равен числу 1: $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1$, или $ {2\sin x+1\xrightarrow {x\to0}1}$.    

Рассмотрим теперь другой важный случай предела.

        Определение 2.2   Предел последовательности при $ n\rightarrow \infty$.

Пусть дана бесконечная последовательность $ \{y_n\}$ чисел, занумерованных по порядку:

$\displaystyle y_1, y_2, y_3, \dots, y_n, \dots\ .$

(Эту последовательность можно рассматривать как функцию $ f(n)=y_n$, определённую при всех натуральных значениях аргумента $ n$.) Дадим определение предела последовательности $ \{y_n\}$ при условии, что номер $ n$ неограниченно растёт (это условие обозначается $ n\rightarrow \infty$). Стремление $ n$ к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа $ N\in\mathbb{N}$, то есть начинает выполняться неравенство $ n>N$. Если при этом числа $ y_n$ становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу $ L$, то это число -- предел последовательности, что записывается так:

$\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow \infty}y_n.$

Рис.2.3.Последовательность и её предел


Формализуем сказанное. Множества чисел $ n$, заданные условиями $ n>N$, можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство $ L=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n$ означает тогда, что

для любого, сколь угодно малого, числа $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое число $ N$ (зависящее от $ {\varepsilon}$), что при $ n>N$ (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство $ \vert y_n-L\vert<{\varepsilon}$.

При этом число $ L$ называется пределом последовательности $ \{y_n\}$ при условии $ {n\rightarrow \infty}$. Тот факт, что $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n=L$, записывают также в виде

$\displaystyle y_n\xrightarrow {n\to\infty}L.$

    

        Пример 2.2   Покажем, что предел последовательности $ y_n=\dfrac{1}{n^2}$ равен 0.

Рис.2.4.Последовательность $ \dfrac{1}{n^2}$


Фиксируем произвольное число $ {\varepsilon}>0$ и подберём число $ N$ в зависимости от $ {\varepsilon}$ так, чтобы при $ n>N$ выполнялось неравенство $ \vert y_n-0\vert<{\varepsilon}$, то есть $ \dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}$. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при $ n>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}$. Значит, достаточно выбрать в качестве $ N$ натуральное число, ближайшее к $ \dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}$ справа на вещественной оси4, то есть $ N=\lceil\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}\rceil$, и тогда при любом $ n>N$ неравенство $ \dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}$ будет верным. Это означает, что

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{n^2}=0,$

или $ \dfrac{1}{n^2}\xrightarrow {n\to\infty}0$.    

Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение.

        Определение 2.3   Предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow +\infty$.

Определим окрестности бесконечности как множества точек $ x$, заданные неравенствами $ x>a$, то есть лучи $ (a;+\infty)$. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности $ (y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})$ точки $ y_0$ можно было найти такую окрестность бесконечности $ (a_{{\varepsilon}};+\infty)$, что при попадании $ x$ в эту окрестность, то есть при $ x>a_{{\varepsilon}}$, соответствующее значение $ y=f(x)$ попадает в заданную вначале окрестность точки $ y_0$, то есть выполняется неравенство $ \vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}$. Выполнение этого требования будет означать, что $ y_0$ -- предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow +\infty$, то есть

$\displaystyle y_0=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).$

Рис.2.5.Предел при $ x\to+\infty$


Тот факт, что $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=y_0$, записывают ещё в виде

$\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to+\infty}y_0.$

    

        Пример 2.3   Покажем, что предел функции $ f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}$ при $ x\to+\infty$ равен числу 3.

Рис.2.6.График функции $ y=\dfrac{3x-2}{x+1}$


Фиксируем $ {\varepsilon}>0$ и подберём по этому числу $ {\varepsilon}$ такое число $ a$, что при любом $ x>a$ выполняется неравенство

$\displaystyle \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}.$

Сразу будем считать, что $ a$ -- неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде $ \left\vert-\dfrac{5}{x+1}\right\vert<{\varepsilon}$ или $ \vert x+1\vert>\dfrac{5}{{\varepsilon}}$. Так как $ x>a\geqslant 0$, то $ x+1>0$ и неравенство имеет вид $ x+1>\dfrac{5}{{\varepsilon}}$, откуда $ x>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1$. Если теперь взять число $ a_{{\varepsilon}}$ равным $ \dfrac{5}{{\varepsilon}}-1$ (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при $ x>a_{{\varepsilon}}$ будет выполняться неравенство $ \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}$; это означает, что

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{x+1}=3,$

или $ \dfrac{3x-2}{x+1}\xrightarrow {x\to+\infty}3$.    

        Упражнение 2.1   Опираясь на свою интуицию и здравый смысл, сформулируйте определение предела функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow -\infty$. Для этого ответьте на предварительный вопрос: какие множества естественно назвать окрестностями $ -\infty$?

Рис.2.7.Предел при $ x\to-\infty$


Пользуясь этим определением, покажите, что $ \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{3x+2}{2x-5}=\dfrac{3}{2}$.