‹-- Назад

Упражнения

        Упражнение 1.6   Пусть $ f(x)=\arcsin x$, $ x\in[-1;1]$, $ g(u)=\cos u$, $ u\in\mathbb{R}$. Тогда определены композиции $ f\circ g$ и $ g\circ f$. Докажите, что при $ x\in[-1;1]$ имеет место равенство $ (g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$. Выясните также, чему равна функция $ f\circ g$ и каков её график.     

        Упражнение 1.7   Вспомните материал школьного курса математики и постройте графики следующих функций. Найдите области определения и области значений этих функций.

а) $ f(x)=\sin 2x$;


б) $ f(x)=\cos x+3$;


в) $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits (\frac{x}{2})$;


г) $ f(x)=x^2+4x+5$;


д) $ f(x)=x^3+1$;


е) $ f(x)=\sqrt[5]{x}$;


ж) $ f(x)=\arcsin x+\frac{\pi}{2}$;


з) $ f(x)=\arccos x-\frac{\pi}{2}$;


и) $ f(x)=3^{x-2}$;


к) $ f(x)=2+\dfrac{1}{x-2}$;


л) $ f(x)=\log_2(x-1)$;


м) $ f(x)=2^{3x-1}$;


н) $ f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x+1)$.


Ответы:

а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$;

б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\;\mathcal{E}(f)=[2;4]$;

в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\pi+2k\pi\},\;\mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[1;+\infty)$;

д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

е) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

ж) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[0;\pi]$;

з) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$;

и) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;

к) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{2\}$;

л) $ \mathcal{D}(f)=(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

м) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;

н) $ \mathcal{D}(f)=(-1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$.     

        Упражнение 1.8   Найдите области определения и области значений следующих функций:

а) $ f(x)=-x^2+6x-5$;

б) $ f(x)=\cos2x+3\sin2x$;

в) $ f(x)=\dfrac{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}$;

г) $ f(x)=\dfrac{1-\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}{2\mathop{\rm tg}\nolimits x}$;

д) $ f(x)=x+\dfrac{1}{x}$;

е) $ f(x)=\sin(\arcsin x)$;

ж) $ f(x)=\arcsin(\sin x)$;

з) $ f(x)=2^{\log_2x}$;

и) $ f(x)=(\sqrt{x})^2$;

к) $ f(x)=\sqrt{x^2}$;

л) $ f(x)=\sqrt{-x^2}$;

м) $ f(x)=\sqrt{4-x^2}$.

Какие из этих функций из области $ \mathcal{D}(f)$ в область $ \mathcal{E}(f)$ являются биекциями?

Ответы:

Биекциями являются функции пп. е), з), и), л), пpичём все эти четыpе функции -- тождественные отобpажения:

$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\mathcal{E}(f); f=f^{-1}=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits : \mathcal{D}(f)\to\mathcal{D}(f)$

пpи соответствующих областях $ \mathcal{D}(f)$. Все остальные функции -- не биекции.

а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;4)$;

б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\sqrt{10};\sqrt{10}]$;

в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi\},\;
\mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ (заметим, что $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits 2x$ пpи $ x\in\mathcal{D}(f)$.

г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{k\pi}{2}\},\;
\mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$;

е) $ \mathcal{D}(f)=[-1;1],\; \mathcal{E}(f)=[-1;1]$;

ж) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$;

з) $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=(0;+\infty)$;

и) $ \mathcal{D}(f)=[0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;

к) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;

л) $ \mathcal{D}(f)=\{0\},\; \mathcal{E}(f)=\{0\}$;

м) $ \mathcal{D}(f)=[-2;2],\; \mathcal{E}(f)=[0;2]$.     

        Упражнение 1.9   Постройте графики функций:

а) \begin{displaymath}f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
x,&\mbox{ при }x<0,\\
-x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0;
\end{array}
\right.\end{displaymath}


б) \begin{displaymath}f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\sqrt[3]{x},&\mbox{ при }x<0,\\
x^3,&\mbox{ при }x\geqslant 0;
\end{array}
\right.\end{displaymath}


в) $ f(x)=\ln\vert x\vert$;


г) \begin{displaymath}f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\log_2\vert x+1\vert,&\mbox{...
...1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0,\ x\ne1;
\end{array}
\right.\end{displaymath}


д) \begin{displaymath}f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\log_2\vert x-1\vert,&\mbox{...
...\vert x+1\vert,&\mbox{ при }x\geqslant 0;
\end{array}
\right.\end{displaymath}


е) $ f(x)=\max\limits_{z\in[x-1;x+1]}(z^3-3z)$;


ж) $ f(x)=\log_{\vert x\vert}\dfrac{1}{2}$;


з) $ f(x)=\log_{\frac{1}{x}}x$; p class=pic>


и) $ f(x)=2^{\vert\log_2x\vert+1}$.

Найдите области опpеделения и области значений этих функций. Какие из этих функций $ f: \mathcal{D}(f)\to\mathcal{E}(f)$ являются биекциями? Если $ f$ -- биекция, найдите обратную функцию $ f^{-1}$ и постройте её график.

Ответы:

Биекцией является только функция п. б), пpи этом $ f^{-1}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^3,&\mbox{ пpи }x<0;\\
\sqrt[3]{x},&\mbox{ пpи }x\geqslant 0.
\end{array}\right.$

а) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=(-\infty;0]$;

б) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

в) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

г) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

д) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=[0;+\infty)$;

е) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$;

ж) $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{-1;0;1\},\; \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$;

з) $ \mathcal{D}(f)=(0;1)\cup(1;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=\{1\}$;

и) $ \mathcal{D}(f)=(0;+\infty),\; \mathcal{E}(f)=[2;+\infty)$.     

        Упражнение 1.10   Последовательность $ {f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}}$ задана формулой $ {f(n)=n^2-3n+5}$. Найдите такие числа $ a$ и $ b$, что для любого $ n\in\mathbb{N}$, $ n\geqslant 3$, выполняется рекуррентная формула $ f(n)=af(n-1)+bf(n-2)$.     

        Упражнение 1.11   Последовательность $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ задана рекуррентной формулой $ f(n)=3f(n-1)-2f(n-2)$ при $ n\geqslant 3$, причем $ f(1)=1$, $ f(2)=1$. Найдите такие числа $ a$ и $ b$, что при всех $ n\in\mathbb{N}$ выполняется формула $ f(n)=n^2+an+b$.     

        Упражнение 1.12   Пусть первые члены последовательности $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ таковы: $ f(1)=5$, $ f(2)=1$, $ f(3)=0$. Найти такие формулы, что $ f(n)$ равняется заданным числам при n=1,2,3, причем при некоторых $ a,b,c,d$ формула имеет вид:

а) $ f(n)=an^2+bn+c$;

б) $ f(n)=\dfrac{a}{n}+bn+c$;

в) $ f(n)=\dfrac{an+b}{cn+d}$;

г) $ f(n)=an^4+bn^2+c$.     

        Упражнение 1.13   Приведите примеры и постройте графики функций, обладающих следующими свойствами:

а) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\diagdown \{0\}$, причем $ f$ -- биекция;

б) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, причем $ \mathcal{E}(f)=\mathbb{R}$ и каждое своё значение $ f(x)=y$ функция принимает ровно по два раза, то есть для любого $ y\in\mathbb{R}$ существуют ровно две точки $ x_1=x_1(y)$ и $ x_2=x_2(y)$ ($ x_1<x_2$), такие что $ f(x_1)=f(x_2)=y$;

в) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\diagdown \mathbb{Z}$, причем $ f$ -- биекция;

г) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, причем $ f$ -- сюръекция и каждое целое значение $ f(x)\in\mathbb{Z}$ принимается ровно по одному разу, а каждое нецелое значение $ f(x)\in\mathbb{R}\diagdown \mathbb{Z}$ -- ровно по два раза.

д) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, причем $ f$ -- сюръекция и каждое целое значение $ f(x)\in\mathbb{Z}$ принимается ровно по два раза, а каждое нецелое значение $ f(x)\in\mathbb{R}\diagdown \mathbb{Z}$ -- ровно по одному разу.

е) $ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, причем $ f$ принимает все вещественные значения, кроме целых чётных, и каждое целое нечётное значение принимается ровно по два раза, а каждое нецелое значение -- ровно по одному разу.