Теоретическая информация: *

• Матрицы
  • Определение, обозначения и типы матриц
  • Сложение матриц и умножение на число
  • Символ суммирования
  • Умножение матриц
  • Транспонирование матрицы
  • Определители
  • Обратная матрица
  • Ранг матрицы
• Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Существование решения системы линейных уравнений общего вида
  • Однородная система уравнений
  • Структура решений неоднородной системы линейных уравнений
  • Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

• Прямые линии и плоскости
  • Уравнение поверхности
  • Уравнение плоскости
  • Изображение плоскости
    • Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля
    • Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю
    • Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю
    • Два коэффициента при переменных равны нулю
  • Угол между плоскостями
  • Расстояние от точки до плоскости
  • Прямая на плоскости
  • Прямая в пространстве
  • Основные задачи на прямую и плоскость
• Кривые второго порядка
  • Окружность
  • Эллипс
  • Гипербола
  • Парабола
  • Параллельный перенос системы координат
• Поверхности второго порядка
  • Сфера
  • Эллипсоид
  • Гиперболоиды
  • Конус
  • Параболоиды
  • Цилиндры
  • Параллельный перенос системы координат

• Векторная алгебра
  • Определение вектора
  • Операции над векторами
  • Разложение вектора по базису
  • Линейная зависимость векторов
  • Система координат и координаты вектора
  • Проекции вектора
  • Скалярное произведение
  • Векторное произведение
  • Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
  • Смешанное произведение
  • Нахождение координат вектора в произвольном базисе

• Функции и их графики
  • Основные обозначения и определения
  • Первый способ задания функции: табличный
  • Второй способ задания функции: с помощью формулы
  • Обзор некоторых элементарных функций
  • Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления
  • Композиция функций
  • Обратная функция
  • Упражнения
• Пределы
  • Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи
  • Общее определение предела
  • Замена переменного и преобразование базы при такой замене
  • Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства
  • Общие свойства пределов
  • Первый и второй замечательные пределы
  • Бесконечно большие величины и бесконечные пределы
  • Использование непрерывности функций при вычислении пределов
  • Сравнение бесконечно малых
  • Таблица эквивалентных бесконечно малых при
  • Упражнения на вычисление пределов
• Непрерывность функций и точки разрыва
  • Определение непрерывности функции
  • Определение точек разрыва
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Непрерывность функции на интервале и на отрезке
  • Равномерная непрерывность
  • Непрерывность обратной функции
  • Гиперболические функции и ареа-функции
  • Примеры и упражнения
• Производные и дифференциалы
  • Мгновенная скорость при прямолинейном движении
  • Касательная к кривой на плоскости
  • Производная
  • Свойства производных
  • Производные некоторых элементарных функций
  • Дифференциал
  • Производная композиции
  • Инвариантность дифференциала
  • Производная обратной функции
  • Производные некоторых элементарных функций (продолжение)
  • Сводка основных результатов о производных
  • Производные высших порядков
  • Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность
  • Производные функции, заданной параметрически
  • Производная функции, заданной неявно
  • Приближённое вычисление производных
  • Примеры и упражнения
• Свойства дифференцируемых функций
  • Четыре теоремы о дифференцируемых функциях
  • Правило Лопиталя
  • Сравнение бесконечно больших величин
• Формула Тейлора
  • Многочлен Тейлора
  • Остаток в формуле Тейлора и его оценка
  • Формула Тейлора для некоторых элементарных функций
  • Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования
  • Упражнения
• Исследование функций и построение графиков
  • Асимптоты графика функции
  • Возрастание и убывание функции
  • Экстремум функции и необходимое условие экстремума
  • Достаточные условия локального экстремума
  • Выпуклость функции
  • Общая схема исследования функции и построения её графика
  • Примеры исследования функций и построения графиков
  • Упражнения и задачи
• Кривизна плоской кривой
  • Кривизна графика функции
  • Вершины кривых
  • Радиус кривизны
  • Упражнения
• Первообразная и неопределённый интеграл
  • Определение первообразной и её свойства
  • Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов
  • Свойства неопределённого интеграла
  • О "неберущихся" интегралах
  • Приближённое нахождение первообразных
  • Примеры и задачи
• Нахождение неопределённых интегралов
  • Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
  • Формула понижения степени
  • Рациональные функции и их интегрирование
  • Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций
  • Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и
  • Примеры и задачи
• Определённый интеграл и его свойства
  • Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции
  • Свойства определённого интеграла
  • Интеграл с переменным верхним пределом
  • Определённый интеграл при произвольном соотношении между нижним и верхним пределами
  • Некоторые приёмы нахождения определённых интегралов
  • Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте площади части круга
  • Примеры и задачи
• Несобственные интегралы
  • Несобственные интегралы первого рода
  • Свойства несобственных интегралов первого рода
  • Несобственные интегралы второго рода
  • Свойства несобственных интегралов второго рода
  • Несобственные интегралы с несколькими особенностями
  • Примеры и задачи
• Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям
  • Площадь области, лежащей между двумя графиками
  • Площадь в полярных координатах
  • Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений
  • Вычисление длины плоской линии
  • Площадь поверхности вращения
  • Примеры и задачи
• Функции нескольких переменных и их дифференцирование
  • Открытые и замкнутые области в
  • Связные множества
  • График функции нескольких переменных
  • Пределы функций нескольких переменных
  • Непрерывность функции
  • Ограничения функции на данное множество
  • Свойства функций, непрерывных в области
  • Частные производные
  • Частные производные высших порядков
  • Дифференцируемость функции и дифференциал
  • Связь дифференциала с частными производными
  • Производная сложной функции
  • Инвариантность дифференциала
  • Равенство смешанных частных производных
  • Теорема о неявной функции
  • Производные неявно заданной функции
  • Выпуклые множества и функции
  • Касательная плоскость к графику функции
  • Приближённые вычисления с помощью дифференциала
  • Примеры и задачи
• Градиент и производная по направлению
  • Определение градиента и стационарных точек функции
  • Производная по направлению
  • Свойства градиента и производной по направлению
  • Примеры и задачи
• Формула Тейлора для функции нескольких переменных
  • Вывод формулы Тейлора
  • Матрица Гессе
  • Примеры и задачи

• Алгебраические структуры
  • Группы
  • Кольца
  • Поля
• Комплексные числа
  • Построение поля комплексных чисел
  • Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами
  • Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа
  • Тригонометрическая форма комплексного числа
  • Показательная форма комплексного числа
  • Извлечение корня из комплексного числа
  • Корни многочленов
• Многомерные пространства
  • Линейные пространства
    • Определение и примеры
    • Базис и размерность пространства
    • Координаты векторов
    • Изменение координат вектора при изменении базиса
  • Евклидово пространство
  • Аффинное -мерное пространство
• Линейные преобразования
  • Определение и примеры
  • Матрица линейного преобразования
  • Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса
  • Собственные числа и собственные векторы
  • Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц
  • Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов
  • Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду

• Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума
  • Отделение корней
  • Метод простого перебора
  • Метод половинного деления
  • Метод простых итераций
  • Метод секущих
  • Метод одной касательной
  • Метод Ньютона (метод касательных)
  • Метод хорд (метод линейной интерполяции)
  • Приближённое нахождение точки экстремума
  • Метод простого перебора
  • Метод почти половинного деления
  • Метод золотого сечения и метод Фибоначчи
  • Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной
  • Упражнения
• Приближённое вычисление определённых интегралов
  • Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников
  • Квадратурная формула центральных прямоугольников
  • Квадратурная формула трапеций
  • Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников
  • Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)
  • Квадратурные формулы более высокого порядка точности
  • Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул