Найти высоту пирамиды онлайн

Подождите несколько секунд до окончания загрузки формул! (Подробнее)

Задание:


Вычислить объем пирамиды и длину высоты, опущенную с вершины A пирамиды, образованной точками:
$$A\left({1}, {2}, {-5}\right)$$ ;      $$B\left({1}, {4}, {1}\right)$$ ;      $$C\left({4}, {0}, {-3}\right)$$ ;      $$D\left({7}, {2}, {7}\right)$$ ;

Решение:


Для нахождения высоты пирамиды, необходимо знать ее объем и площадь основания

Найдем объем пирамиды
$$\overline{AB}$$ = $$\lbrace{{{1}-{1}}}, {{{4}-{2}}}, {{{1}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{0}, {2}, {6}\rbrace$$
$$\overline{AC}$$ = $$\lbrace{{{4}-{1}}}, {{{0}-{2}}}, {{{-3}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{3}, {-2}, {2}\rbrace$$
$$\overline{AD}$$ = $$\lbrace{{{7}-{1}}}, {{{2}-{2}}}, {{{7}-\left({-5}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{6}, {0}, {12}\rbrace$$

Найдем смешанное произведение векторов.
$${{\overline{AB}}\cdot {\overline{AC}}\cdot {\overline{AD}}}$$ = $${\begin{vmatrix}{{AB}_{{x} }}&{{AB}_{{y} }}&{{AB}_{{z} }}\\{{AC}_{{x} }}&{{AC}_{{y} }}&{{AC}_{{z} }}\\{{AD}_{{x} }}&{{AD}_{{y} }}&{{AD}_{{z} }}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{6}\\{3}&{-2}&{2}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$

$${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{6}\\{3}&{-2}&{2}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{{{0}-{{{2}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}}}&{2}&{{{6}-{{{2}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}}}\\{{{3}-\left({{{-2}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}\right)}}&{-2}&{{{2}-\left({{{-2}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}\right)}}\\{{{6}-{{{0}\cdot {{\frac {0}{2}}}}}}}&{0}&{{{12}-{{{0}\cdot {{\frac {6}{2}}}}}}}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{0}&{2}&{0}\\{3}&{-2}&{8}\\{6}&{0}&{12}\end{vmatrix}}$$ = $${-{{{2}\cdot {{\begin{vmatrix}{3}&{8}\\{6}&{12}\end{vmatrix}}}}}}$$ = $${-{{{2}\cdot \left({{{{{3}\cdot {12}}}-{{{8}\cdot {6}}}}}\right)}}}$$ = $$24$$
$${{\overline{AB}}\cdot {\overline{AC}}\cdot {\overline{AD}}}$$ = $$24$$
Объем пирамиды $$V$$ = $${\frac {|{24}|}{6}}$$ = $$4$$

Найдем площадь основания
$$\overline{BC}$$ = $$\lbrace{{{4}-{1}}}, {{{0}-{4}}}, {{{-3}-{1}}}\rbrace$$ = $$\lbrace{3}, {-4}, {-4}\rbrace$$
$$\overline{BD}$$ = $$\lbrace{{{7}-{1}}}, {{{2}-{4}}}, {{{7}-{1}}}\rbrace$$ = $$\lbrace{6}, {-2}, {6}\rbrace$$

Найдем векторное произведение векторов.
$${{\overline{BC}}\times {\overline{BD}}}$$ = $${\begin{vmatrix}{\overline{i}}&{\overline{j}}&{\overline{k}}\\{{BC}_{{x} }}&{{BC}_{{y} }}&{{BC}_{{z} }}\\{{BD}_{{x} }}&{{BD}_{{y} }}&{{BD}_{{z} }}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{\overline{i}}&{\overline{j}}&{\overline{k}}\\{3}&{-4}&{-4}\\{6}&{-2}&{6}\end{vmatrix}}$$ = $${{{{{{\overline{i}}\cdot \left({{{{{-4}\cdot {6}}}-\left({{{-4}\cdot \left({-2}\right)}}\right)}}\right)}}-{{{\overline{j}}\cdot \left({{{{{3}\cdot {6}}}-\left({{{-4}\cdot {6}}}\right)}}\right)}}}}+{{{\overline{k}}\cdot \left({{{{{3}\cdot \left({-2}\right)}}-\left({{{-4}\cdot {6}}}\right)}}\right)}}}$$ = $$-32\overline{i}+42\overline{j}+18\overline{k}$$
Найдем модуль вектора.

$${|-32\overline{i}+42\overline{j}+18\overline{k}|}$$ = $${\sqrt{{{{{{{{BCBD}_{{x} }}^{2}}}+{{{{BCBD}_{{y} }}^{2}}}}}+{{{{BCBD}_{{z} }}^{2}}}}}}$$ = $${\sqrt{{{{{{\left({-32}\right)^{2}}}+{{{42}^{2}}}}}+{{{18}^{2}}}}}}$$ = $$\sqrt{3112}$$
Площадь треугольника $$S$$ = $${\frac {\sqrt{3112}}{2}}$$ = $$\frac{1}{2} \sqrt{3112}$$

Т.к. $${{V}={{\frac {{{S}\cdot {h}}}{3}}}}$$ то длина высоты $$h$$ = $${\frac {{{3}\cdot {V}}}{S}}$$ = $$\frac{3}{389} \sqrt{3112}$$

Ответ:

Объем пирамиды: $${{V}={4}}$$ ; Длина высоты: $${{h}={\frac{3}{389} \sqrt{3112}}}$$