Найти площадь треугольника онлайн

Подождите несколько секунд до окончания загрузки формул! (Подробнее)

Задание:


Найти площадь треугольника, образованного точками:
$$A\left({1}, {-1}, {2}\right)$$ ;      $$B\left({0}, {1}, {6}\right)$$ ;      $$C\left({-4}, {2}, {0}\right)$$ ;

Решение:

$$\overline{AB}$$ = $$\lbrace{{{0}-{1}}}, {{{1}-\left({-1}\right)}}, {{{6}-{2}}}\rbrace$$ = $$\lbrace{-1}, {2}, {4}\rbrace$$
$$\overline{AC}$$ = $$\lbrace{{{-4}-{1}}}, {{{2}-\left({-1}\right)}}, {{{0}-{2}}}\rbrace$$ = $$\lbrace{-5}, {3}, {-2}\rbrace$$

Найдем векторное произведение векторов.
$${{\overline{AB}}\times {\overline{AC}}}$$ = $${\begin{vmatrix}{\overline{i}}&{\overline{j}}&{\overline{k}}\\{{AB}_{{x} }}&{{AB}_{{y} }}&{{AB}_{{z} }}\\{{AC}_{{x} }}&{{AC}_{{y} }}&{{AC}_{{z} }}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{\overline{i}}&{\overline{j}}&{\overline{k}}\\{-1}&{2}&{4}\\{-5}&{3}&{-2}\end{vmatrix}}$$ = $${{{{{{\overline{i}}\cdot \left({{{{{2}\cdot \left({-2}\right)}}-{{{4}\cdot {3}}}}}\right)}}-{{{\overline{j}}\cdot \left({{{{{-1}\cdot \left({-2}\right)}}-{{{4}\cdot \left({-5}\right)}}}}\right)}}}}+{{{\overline{k}}\cdot \left({{{{{-1}\cdot {3}}}-{{{2}\cdot \left({-5}\right)}}}}\right)}}}$$ = $$-16\overline{i}+22\overline{j}+7\overline{k}$$
Найдем модуль вектора.

$${|-16\overline{i}+22\overline{j}+7\overline{k}|}$$ = $${\sqrt{{{{{{{{ABAC}_{{x} }}^{2}}}+{{{{ABAC}_{{y} }}^{2}}}}}+{{{{ABAC}_{{z} }}^{2}}}}}}$$ = $${\sqrt{{{{{{\left({-16}\right)^{2}}}+{{{22}^{2}}}}}+{{{7}^{2}}}}}}$$ = $$\sqrt{789}$$
Площадь треугольника $$S$$ = $${\frac {\sqrt{789}}{2}}$$ = $$\frac{1}{2} \sqrt{789}$$

Ответ:

$${{S}={\frac{1}{2} \sqrt{789}}}$$