Найти сумму ряда онлайн

Подождите несколько секунд до окончания загрузки формул! (Подробнее)

Задание:

Найти сумму ряда $${\sum_{{n}={0}}^{{\infty}}{54 \frac{1}{4+5 n+{{n}^{2}}}}}$$

Решение:


$$S$$ = $${\sum_{{n}={0}}^{{\infty}}{54 \frac{1}{4+5 n+{{n}^{2}}}}}$$ = $${{18}\cdot {{\sum_{{n}={0}}^{{\infty}}\left({{{\frac{1}{1+n}}-{\frac{1}{4+n}}}}\right)}}}$$
Найдем сумму первых $$n$$ елементов ряда $${\sum_{{n}={0}}^{{\infty}}\left({{{\frac{1}{1+n}}-{\frac{1}{4+n}}}}\right)}$$

$${S}_{{n} }$$ = $${{{{{{{{{{{{1}-{\frac{1}{4}}}}+{{{\frac{1}{2}}-{\frac{1}{5}}}}}}+{{{\frac{1}{3}}-{\frac{1}{6}}}}}}+{{{\frac{1}{4}}-{\frac{1}{7}}}}}}+{{{\frac{1}{5}}-{\frac{1}{8}}}}}}+{{{\cdots}+{{{{{{{{{{{\frac{1}{-3+n}}-{\frac{1}{n}}}}+{{{\frac{1}{-2+n}}-{\frac{1}{1+n}}}}}}+{{{\frac{1}{-1+n}}-{\frac{1}{2+n}}}}}}+{{{\frac{1}{n}}-{\frac{1}{3+n}}}}}}+{{{\frac{1}{1+n}}-{\frac{1}{4+n}}}}}}}}}$$ = $${{{{{{1}+{\frac{1}{2}}}}+{\frac{1}{3}}}}-\left({{{\frac{1}{2+n}}+{{{\frac{1}{3+n}}+{\frac{1}{4+n}}}}}}\right)}$$ = $$\frac{11}{6}-\frac{1}{2+n}-\frac{1}{3+n}-\frac{1}{4+n}$$
$${{{\sum_{{n}={0}}^{{\infty}}\left({{{\frac{1}{1+n}}-{\frac{1}{4+n}}}}\right)}}={{{{\lim_{{n}\to {+\infty}}\left({{S}_{{n} }}\right)}}={{\lim_{{n}\to {+\infty}}\left({\frac{11}{6}-\frac{1}{2+n}-\frac{1}{3+n}-\frac{1}{4+n}}\right)}}}}}$$

$${\lim_{{n}\to {+\infty}}\left({\frac{11}{6}-\frac{1}{2+n}-\frac{1}{3+n}-\frac{1}{4+n}}\right)}$$ = $$\frac{11}{6}$$
$${{S}={{{{{18}\cdot {\frac{11}{6}}}}={33}}}}$$

Ответ:

$${{S}={33}}$$