Четыре точки на плоскости онлайн

Подождите несколько секунд до окончания загрузки формул! (Подробнее)

Задание:

Находятся ли на одной плоскости точки $$A\left({2}, {1}, {-1}\right)$$ ;      $$B\left({0}, {3}, {-6}\right)$$ ;      $$C\left({1}, {5}, {-7}\right)$$ ;      $$D\left({9}, {0}, {6}\right)$$ ;

Решение:

$$\overline{AB}$$ = $$\lbrace{{{0}-{2}}}, {{{3}-{1}}}, {{{-6}-\left({-1}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{-2}, {2}, {-5}\rbrace$$
$$\overline{AC}$$ = $$\lbrace{{{1}-{2}}}, {{{5}-{1}}}, {{{-7}-\left({-1}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{-1}, {4}, {-6}\rbrace$$
$$\overline{AD}$$ = $$\lbrace{{{9}-{2}}}, {{{0}-{1}}}, {{{6}-\left({-1}\right)}}\rbrace$$ = $$\lbrace{7}, {-1}, {7}\rbrace$$

Определим компланарность векторов

Найдем смешанное произведение векторов.
$${{\overline{AB}}\cdot {\overline{AC}}\cdot {\overline{AD}}}$$ = $${\begin{vmatrix}{{AB}_{{x} }}&{{AB}_{{y} }}&{{AB}_{{z} }}\\{{AC}_{{x} }}&{{AC}_{{y} }}&{{AC}_{{z} }}\\{{AD}_{{x} }}&{{AD}_{{y} }}&{{AD}_{{z} }}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{-2}&{2}&{-5}\\{-1}&{4}&{-6}\\{7}&{-1}&{7}\end{vmatrix}}$$

$${\begin{vmatrix}{-2}&{2}&{-5}\\{-1}&{4}&{-6}\\{7}&{-1}&{7}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{-2}&{{{2}-\left({{{-2}\cdot {{\frac {2}{-2}}}}}\right)}}&{{{-5}-\left({{{-2}\cdot {{\frac {-5}{-2}}}}}\right)}}\\{-1}&{{{4}-\left({{{-1}\cdot {{\frac {2}{-2}}}}}\right)}}&{{{-6}-\left({{{-1}\cdot {{\frac {-5}{-2}}}}}\right)}}\\{7}&{{{-1}-{{{7}\cdot {{\frac {2}{-2}}}}}}}&{{{7}-{{{7}\cdot {{\frac {-5}{-2}}}}}}}\end{vmatrix}}$$ = $${\begin{vmatrix}{-2}&{0}&{0}\\{-1}&{3}&{-\frac{7}{2}}\\{7}&{6}&{-\frac{21}{2}}\end{vmatrix}}$$ = $${{-2}\cdot {{\begin{vmatrix}{3}&{-\frac{7}{2}}\\{6}&{-\frac{21}{2}}\end{vmatrix}}}}$$ = $${{-2}\cdot \left({{{{{3}\cdot \left({-\frac{21}{2}}\right)}}-\left({{{-\frac{7}{2}}\cdot {6}}}\right)}}\right)}$$ = $$21$$
$${{\overline{AB}}\cdot {\overline{AC}}\cdot {\overline{AD}}}$$ = $$21$$
Т.к. произведение не равно 0, то векторы не компланарны.

Т.к. векторы не компланарны, то точки не лежат на одной плоскости

Ответ:


Точки не лежат на одной плоскости