Вычислить производную функции, заданной параметрически - пример

Подождите несколько секунд до окончания загрузки формул! (Подробнее)

Задание:

Найти производную $${\left({y}\right)'_{x}}$$ функции
$$\left\{\begin{array}{l}{{{x}={ \sin(t) t}}}\\{{{y}={\frac{1}{t}}}}\end{array}\right.$$

Решение:


$${{{\left({y}\right)'_{x}}}={\frac{{\left({y}\right)'_{t}}}{{\left({x}\right)'_{t}}}}}$$

$${{{\left({x}\right)'_{t}}}={{\left({ \sin(t) t}\right)'_{t}}}}$$ ;      $${{{\left({y}\right)'_{t}}}={{\left({\frac{1}{t}}\right)'_{t}}}}$$ ;

$${\left({ \sin(t) t}\right)'_{t}}$$ = $$ {\left({\sin(t)}\right)'_{t}} t+ \sin(t) {\left({t}\right)'_{t}}$$ = $$ \cos(t) t+\sin(t)$$

$${\left({\frac{1}{t}}\right)'_{t}}$$ = $$-\frac{1}{{{t}^{2}}}$$

$${\left({y}\right)'_{x}}$$ = $${\frac {-\frac{1}{{{t}^{2}}}}{ \cos(t) t+\sin(t)}}$$ = $$-\frac{1}{ {( \cos(t) t+\sin(t))} {{t}^{2}}}$$

Ответ:

$${{{\left({y}\right)'_{x}}}={-\frac{1}{ {( \cos(t) t+\sin(t))} {{t}^{2}}}}}$$