Вычислить производную неявной функции - пример

Подождите несколько секунд до окончания загрузки формул! (Подробнее)

Задание:

Найти $${\left({y}\right)'_{x}}$$ для функции $${{2 \frac{\sin(x)}{{{y}^{2}}}}={x+y}}$$

Решение:

$${{2 \frac{\sin(x)}{{{y}^{2}}}-x-y}={0}}$$
$${{F}={2 \frac{\sin(x)}{{{y}^{2}}}-x-y}}$$
Продифференцируем F учитывая, что $$y$$ есть функция от $$x$$

$${\left({2 \frac{\sin(x)}{{{y}^{2}}}-x-y}\right)'_{x}}$$ = $${\left({- x}\right)'_{x}}+{\left({2 \frac{\sin(x)}{{{y}^{2}}}}\right)'_{x}}+{\left({- y}\right)'_{x}}$$ = $$-{\left({x}\right)'_{x}}+2 {\left({\frac{\sin(x)}{{{y}^{2}}}}\right)'_{x}}-{\left({y}\right)'_{x}}$$ = $$-1-{\left({y}\right)'_{x}}+2 \sin(x) {\left({\frac{1}{{{y}^{2}}}}\right)'_{x}}+2 \frac{{\left({\sin(x)}\right)'_{x}}}{{{y}^{2}}}$$ = $$-1-4 \frac{ \sin(x) {\left({y}\right)'_{x}}}{{{y}^{3}}}-{\left({y}\right)'_{x}}+2 \frac{\cos(x)}{{{y}^{2}}}$$ = $$\frac{2 \cos(x) y-4 \sin(x) {\left({y}\right)'_{x}}- {\left({y}\right)'_{x}} {{y}^{3}}-{{y}^{3}}}{{{y}^{3}}}$$
$${{\frac{2 \cos(x) y-4 \sin(x) {\left({y}\right)'_{x}}- {\left({y}\right)'_{x}} {{y}^{3}}-{{y}^{3}}}{{{y}^{3}}}}={0}}$$
$${{{\left({y}\right)'_{x}}}={\frac{2 \cos(x) y-{{y}^{3}}}{4 \sin(x)+{{y}^{3}}}}}$$

Ответ:

$${{{\left({y}\right)'_{x}}}={\frac{2 \cos(x) y-{{y}^{3}}}{4 \sin(x)+{{y}^{3}}}}}$$