Найти неопределенный интеграл - пример

Подождите несколько секунд до окончания загрузки формул! (Подробнее)

Задание:

Вычислить $${\int{ {cos^{3}({x})} {sin^{2}({x})}}{d}{x}}$$

Решение:


$${\int{ {cos^{3}({x})} {sin^{2}({x})}}{d}{x}}$$ = $${\int{ {cos^{2}({x})} {sin^{2}({x})}}{d}\left({\sin(x)}\right)}$$ = $${\int\left({- {(-1+{sin^{2}({x})})} {sin^{2}({x})}}\right){d}\left({\sin(x)}\right)}$$ = $${\begin{Bmatrix}{{{t}={\sin(x)}}}\\{{{x}={\arcsin(t)}}}\\{{{{{d}\left({\sin(x)}\right)}}={{{d}{t}}}}}\end{Bmatrix}}$$ = $${\int\left({- {(-1+{{t}^{2}})} {{t}^{2}}}\right){d}{t}}$$ = $${\int\left({{{t}^{2}}-{{t}^{4}}}\right){d}{t}}$$ = $$\frac{1}{3} {{t}^{3}}-\frac{1}{5} {{t}^{5}}$$ = $$\frac{1}{3} {sin^{3}({x})}-\frac{1}{5} {sin^{5}({x})}$$

Ответ:

$${{{\int{ {cos^{3}({x})} {sin^{2}({x})}}{d}{x}}}={\frac{1}{3} {sin^{3}({x})}-\frac{1}{5} {sin^{5}({x})}}}$$